Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 11
Expresse a função como uma soma de série de potência escrevendo primeiro as frações parciais.
Expresse o intervalo de convergência.
Passo 1
Boa tarde galera! Lembre-se que é possível escrever uma função como uma série de potências? É exatamente isso que pede nos pede o enunciado. Para isso vamos primeiro observar a função:
Vamos lembrar que para fazer isso nós iremos comparar com a série geométrica que por definição é:
Ou seja, teremos que manipular a função dada de forma a colocar ela no padrão das séries geométricas.
Então vamos colocar a mão na massa?
Passo 2
Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:
Podemos reescrever a função como:
Agora, reescrevendo em frações parciais, temos:
Dessa forma, temos que:
Para , temos:
E para , temos:
Passo 3
Dessa forma, a equação se torna:
Perceba então que teremos uma soma de duas séries;
Sendo que a primeira já está no padrão desejado:
Para segunda:
Ou seja:
E, reescrevendo como uma soma de série de potência, temos:
Passo 4
Representamos como a soma de duas séries geométricas:
Vamos nos recordar quando uma série geométrica converge?
Por definição:
Em que: se a série é convergente.
Ou seja, para a primeira série:
a convergência acontece para:
Para a segunda série:
Então a primeira converge para e a segunda converge para .
Porém perceba que eu preciso de um intervalo em que seja convergente para ambas as séries, pois a soma de uma série convergente com uma série divergente é uma série divergente.
Dessa forma, a interseção entre os intervalos fornece o intervalo de convergência, que é de: