Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 32
Expresse a integral como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
Passo 1
Olá, turma! Tudo bem?
A questão pede para expressarmos nossa integral tripla de seis modos diferentes é só mudarmos as ordens de integração
E mudarmos os limites de integração da nossa região apropriadamente para cada ordem que escolhermos.
Então, vamos começar entendendo nossa região e mudando a forma de expressar essa mesma região de acordo com a ordem de integração. Como sempre temos que deixar as integrais que tem limite de integração com funções “por dentro” da integral tripla.
Vem ver como fica!
Passo 2
Vamos em cada passo expressar nossa região de uma forma diferente e já vamos trazer nossa integral tripla.
- :
Primeiro vamos colocar entre funções das outras variáveis. Isolando no ultimo plano temos
Podemos colocar da seguinte forma:
Agora analisando as outras variações, teremos no plano, a interseção quando
Então temos a variação e quando
E a variação de é
e temos como:
Assim, nossa integral é:
Passo 3
Se na equação isolarmos teremos a mesma região descrita de outra forma
E para encontrar a de , quando
E temos a região :
Nossa integral pra essa região é:
Passo 4
Se pegarmos a equação e isolarmos encontramos que
E temos a variação
e então vamos analisar a região com variações das outras variáveis.
A intersecção quando nos dá
E temos a variação
e quando temos a variação de
E temos a região como
E nossa integral será:
Passo 5
Se na equação isolarmos
E quando
E temos
Então nossa integral será:
Passo 6
Agora se isolarmos na equação temos
E a variação das outras variáveis vai sair da intersecção do plano com
Isolando
Então podemos colocar como
E na intersecção com
E temos
Então nossa integral será:
Passo 7
E se pegarmos e isolarmos
Quando
E temos
Então nossa integral será:
Prontinho! Conseguimos 6 formas diferentes de descrevermos nossa região .