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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 25

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ ∫ E   y 2 z 2   d V ,  

onde E é limitado pelo paraboloide   x = 1 - y 2 - z 2   e pelo plano   x = 0

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, essa questão nos pede para calcular a integral

∫ ∫ ∫ E   y 2 z 2   d V ,  

limitado pelo paraboloide   x = 1 - y 2 - z 2   e pelo plano   x = 0

de modo que temos que utilizar as informações dadas sobre o plano e sobre o paraboloide para montar os limites de integração. Após fazer isso é só integrar.E como vamos montar os limites de integração?

Vamos encontrar para cada uma das variáveis seus valores máximos e mínimos para transformar d V em d x d y d z . Vamos então escrever a equação em função de z e obter esses valores. Vamos tentar?

Passo 2

Encontrando os limites de integração:

Veja que para z ,

x = 1 - y 2 - z 2

Escrevendo em função de z

Podemos ver que

z 2 = 1 - y 2

z =   ± 1 - y 2    

Além disso, zerando o z temos:

0 = 1 - y 2

y 2 = 1

y = ± 1

E temos que x inicia em x = 0 e segue até 1 - y 2 - z 2 .

Assim, nossa integral pode ser reescrita de forma iterada como sendo

∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - y 2 - z 2 y 2 z 2   d x   d z   d y

Passo 3

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 ∫ 0 1 - y 2 - z 2 y 2 z 2   d x   d z   d y

Resolvendo a integral mais interna vamos ter (considerando y e z como constantes)

∫ 0 1 - y 2 - z 2 y 2 z 2   d x = x y 2 z 2 0 1 - y 2 - z 2 = 1 - y 2 - z 2 ⋅ y 2 z 2

Agora, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ - 1 1 ∫ - 1 - y 2 1 - y 2 y 2 z 2 ⋅ 1 - y 2 - z 2   d z   d y

Passo 4

Resolver essa integral em coordenadas cartesianas vai dar um pouco de trabalho, então, vamos fazer uma troca de coordenadas para coordenadas esféricas de modo que a gente vai obter a seguinte integral. (Perceba que sempre que eu tiver que calcular uma integral que possuo elementos cilíndricos, circulares ou esféricos, vale a pena analisar a equação em outros sistemas de coordenadas.

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 ⋅ s e n θ 1 - r 2 r   d r   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 sin 2 ⁡ 2 θ 4 ⋅ r 5 - r 7   d r   d θ

Agora, novamente resolvendo a integral mais interna vamos ter(mantendo d θ   com constante.)

∫ 0 1 sin 2 ⁡ 2 θ 4 ⋅ r 5 - r 7   d r = sin 2 ⁡ 2 θ 4 ⋅ r 6 6 - r 8 8 0 1

=   sin 2 ⁡ 2 θ 4 ⋅ 1 6 - 1 8

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 2 π sin 2 ⁡ 2 θ 4 ⋅ 1 6 - 1 8   d θ = ∫ 0 2 π ( 1 - cos ⁡ 4 θ 2 ⋅ 4 ⋅ 1 6 - 1 8   d θ =  

1 192 ⋅ θ - sin ⁡ 4 θ 4 0 2 π = 2 π 192 = π 96

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

π 96

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