Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 52
Suponha que e sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta se e caso contrário.
- Determine o valor da constante .
- Determine .
- Determine.
Passo 1
E aii, turma, tudo certo??
Essa questão ta falando de uma tal função densidade conjunta:
Essa função tá relacionada com as variáveis aleatórias , e , e por definição, a probabilidade de estar em uma região é:
Na letra (a), a gente precisa descobrir quem é , que está dentro da função... pra isso, vamos usar essa propriedade:
Nas outras duas letras, precisamos usar a definição da função densidade contínua pra achar a probabilidade de algumas situações específicas.
Pra isso, vamos ver quem é o , em cada um dos casos, transformar a integral que representa a probabilidade em integral iterada e calcular.
Já adianto que a gente vai usar essa propriedade de integrais triplas:
Ou seja, se o integrando for um produto de funções de cada uma das variáveis, podemos separar a integral como um produto de integrais simples. Mas isso só vale quando os limites de integração são todos constantes!
Passo 2
(a)
Pra descobrir quem é , vamos usar que:
Só que a questão diz que a função tem uma lei de formação para :
E fora isso a função vale . Ou seja, se qualquer uma das variáveis for negativa, a função zera. Por isso, podemos considerar só os intervalos onde as três variáveis são positivas pro cálculo:
Como é constante vamos tirar da integral, e esse exponencial vou abrir no produto de três exponenciais:
Agora nós temos o integrando como um produto de funções de cada uma das variáveis:
Então isso fica:
Isso são integrais impróprias, então pra calcular precisamos fazer:
Como a primitiva de é , calculamos:
Os três limites vão tender a alguma coisa do tipo , o que tende para , então:
Passo 3
(b)
A probabilidade é calculada pela fórmula
Neste caso temos que está livre para variar, então
Só que lembrando que nos intervalos onde alguma das variáveis é negativa a função vale , então calculamos só para os valores positivos das variáveis:
Colocando o pra fora da integral, de novo temos um produto de fun��ões de cada uma das variáveis, então:
Percebe que a terceira integral é exatamente igual a que calculamos na letra (a), que deu , então:
Simplificando com e resolvendo as outras duas integrais:
Substituindo nos limites de integração:
Colocando e em evidência:
Então:
Passo 4
(c)
De novo vamos usar a fórmula:
Agora , então
Pela mesma lógica que usamos na letra (b), vamos pegar só á região onde as variáveis são positivas:
O sai da integral por ser constante, e vamos separar essa integral e três integrais simples mais uma vez:
As duas primeiras integrais já calculamos na letra (a):
Calculando a última integral:
Aplicando nos limites:
Simplificando:
Resposta
(a)
(b)
(c)