15) ∫ x 2 + 3 x 2 - 9 d x

Passo 1

I = ∫ x 2 + 3 x 2 - 9 d x

Analisando a integral, podemos pensar em dividir em frações parciais, mas antes temos que ter um polinômio no numerador com grau menor do que no denominador.

Então vamos deixar o numerador parecido com o denominador para tentar simplificar!

x 2 + 3 x 2 - 9 = x 2 - 9 + 9 + 3 x 2 - 9 = ( x 2 - 9 ) + 12 x 2 - 9 = 1 + 12 x 2 - 9

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = ∫ x 2 + 3 x 2 - 9 d x

E vai ficar assim:

I = ∫ 1 + 12 x 2 - 9 d x = ∫ d x + ∫ 12 x 2 - 9 d x

Atenção: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Para resolver a primeira parcela:

I 1 = ∫ d x = x + c 1

Para a segunda parcela:

I 2 = ∫ 12 x 2 - 9 d x = 12 ⋅ ∫ 1 x 2 - 9 d x = 12 ⋅ ∫ 1 x - 3 x + 3 d x

Dividindo em frações parciais, temos:

1 x - 3 x + 3 = A x - 3 + B x + 3

Deixando os denominadores iguais:

1 x - 3 x + 3 = A ⋅ x + 3 + B ⋅ ( x - 3 ) x - 3 x + 3

Fazendo a distributiva:

1 x - 3 x + 3 = A + B x + ( 3 A - 3 B ) x - 3 x + 3

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

  0 ⋅ x + 1 = A + B x + ( 3 A - 3 B )

A + B = 0       ( i ) 3 A - 3 B = 1       ( i i )

De ( i ) :

A = - B

Substituindo em ( i i ) :

- 6 B = 1

Logo,

A = 1 6 e     B = - 1 6

I 2 = 12 ⋅ ∫ 1 6 x - 3   d x + ∫ - 1 6 x + 3 d x = 2 ⋅ ∫ d x x - 3 - 2 ∫ d x x + 3

Não esquece: ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I 2 = 2 ⋅ ∫ d x x - 3 - 2 ∫ d x x + 3 = 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 - 2 ⋅ ln ⁡ x + 3 + c 2

Portanto,

I = I 1 + I 2 = x + c 1 + 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 - 2 ⋅ ln ⁡ x + 3 + c 2

Juntando as constantes:

I = x + 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 - 2 ⋅ ln ⁡ x + 3 + c

Resposta

x + 2 ⋅ ln ⁡ x - 3 - 2 ⋅ ln ⁡ x + 3 + c

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