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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 20

Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i x i 2 + 4 . ∆ x                     [ 1 ,   3 ]

Passo 1

Faaala ae!! Tranquilo?

Bom, nós queremos expressar o limite abaixo na forma de uma integral, definida no intervalo 1 ,   3 .

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i x i 2 + 4 . ∆ x              

A ideia dessa questão é garantir que você, entendeu a “anatomia” e o significado da integral pela soma de Riemann!

Pela definição a integral pela soma de Riemann é dada por:

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i )   Δ x

Onde n é o número de subintervalos e Δ x e x i são dados por:

Δ x = b - a n  

x i = a + i Δ x

Traduzindo, o que essa fórmula geral tá dizendo é:

Eu tenho uma curva dada por f ( x ) , se eu dividir essa curva em um zilhão de retangulinhos e somar a área de todos esses mini retângulos, o meu resultado vai ser a integral dessa curva no intervalo dado! Podemos também perceber que, se n → ∞ , então Δ x → 0 , ou seja, quanto mais subintervalos eu tenho, mas fininho ele vai ser!

Pra resolver esse problema a gente vai precisar olhar pro enunciado, reconhecer quem é f ( x i ), quais são os limites de integração e montar a integral definida!

É realmente só isso ;)

Passo 2

No problema dado temos que:

f x i = x i x i 2 + 4

Então:

f x = x x 2 + 4

Agora é só colocar ela dentro da integral definida, transformando ∆ x em d x :

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i * x i * 2 + 4 . ∆ x = ∫ 1 3 x x 2 + 4 . d x

Prontinho!

Resposta

∫ 1 3 x x 2 + 4 . d x

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