Seja A área sob o gráfico de uma função contínua crescente f de a até b , e sejam L_n e R_n as aproximações para A, com n subintervalos usando extremidades esquerdas e direitas, respectivamente.

  1. Como A, L_n e R_n estão relacionadas?
  2. Mostre que R_n - L_n = (b - a) / n [ f(b) - f(a) ] . Então desenhe um diagrama para ilustrar essa equação ,mostrando que n retângulos representado R_n - L_n podem ser reunidos num único retângulo cuja área é o lado direito da equação.
  3. Deduza que , R_n - A < (b - a) / n [f(b) - f(a)]

Passo 1

O enunciado nos diz que: “Seja A área sob o gráfico de uma função contínua crescente f de a até b , e sejam L n e R n as aproximações para A ,   com n subintervalos usando extremidades esquerdas e direitas, respectivamente.”

E a primeira coisa que ele nos pergunta é como A , L n e R n estão relacionadas!

Bora lá! Desde que f é uma função crescente e sendo L n uma subestimativa (estimativa inferior ) e R n uma superestimativa (estimativa superior). Se liga na imagem pra ficar mais claro:

Então A , L n e R n estão relacionados pela desigualdades L n < A < R n .

Passo 2

Agora, na letra b o enunciado está pedindo pra a gente mostrar que:

R n - L n = b - a n   f b - f a

E depois devemos desenhar um diagrama para ilustrar essa equação, mostrando que n retângulos representado R n - L n podem ser reunidos num único retângulo cuja área é o lado direito da equação.

Sendo:

R n = f x 1 Δ x +     f x 2 Δ x + ⋯ + f x n Δ x

E:

L n =   f 0 Δ x +     f x 1 Δ x + ⋯ + f x n - 1 Δ x

Subtraindo as igualdades:

R n - L n = f x n - f x 0 Δ x

Como Δ x =   b - a n .

R n - L n = b - a n   f b - f a

Agora vamos para o diagrama:

No diagrama R n - L n   é a soma das áreas dos retângulos sombreados. Deslizando os retângulos sombreados para a esquerda, de modo que eles se empilhem em cima do retângulo sombreado mais à esquerda, formamos um retângulo da altura f b - f ( a ) e largura b - a .

Passo 3

Pra acabar temos que A > L n então R n - A < R n - L n , isto é:

R n - A < b - a n   f b - f a

Resposta

Desenvolvimento acima

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