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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.6 - Ex. 39

Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.

ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + 1 2 ln ⁡ x - ln ⁡ sin ⁡ x

Passo 1

Olá, vamos resolver juntos essa atividade.

Aqui a gente tem a expressão logarítmica:

ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + 1 2 ln ⁡ x - ln ⁡ sin ⁡ x

Precisamos transformar esses 2 logaritmos que estão na mesma base, em apenas um logaritmo.

Bom, temos três propriedades dos logaritmos que serão extremamente uteis para que possamos alcançar nossos objetivos.

  1. ln ⁡ a 2 = 2 ln ⁡ a
  2. ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b
  3. ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

É com elas que vamos trabalhar para fazer as manipulações que precisamos.

Passo 2

Temos

ln ⁡ 1 + x 2 + 1 2 ln ⁡ x - ln ⁡ s e n x

Vamos então aplicar a propriedade 1 no segundo termo:

ln ⁡ 1 + x 2 + ln ⁡ x 1 2 - ln ⁡ s e n x

Agora vamos aplicar a propriedade 2 nos dois primeiros termos, transformando-os em um termo só:

ln ⁡ 1 + x 2 x - ln ⁡ s e n x

Agora aplicando a propriedade 3 nos últimos termos, conseguimos resolver a atividade:

ln ⁡ 1 + x 2 x s e n   x

Resposta

ln ⁡ 1 + x 2 + 1 2 ln ⁡ x - ln ⁡ s e n   x = ln ⁡ 1 + x 2 x s e n   x

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