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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.5 - Ex. 41

Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.

1 3 ln ⁡ x + 2 3 + 1 2 [ ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 3 x + 2 2 ]

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos utilizar das propriedades do logaritmo para manipular essa expressão.

Vamos primeiro aplicar a seguinte propriedade logarítmica de expoente na primeira parcela:

ln ⁡ a n = n ln ⁡ a ,     p a r a   t o d o   a > 0   e   n ∈ N

Passo 2

Então:

3 × 1 3 ln ⁡ x + 2 + 1 2 [ ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 3 x + 2 2 ] ⇒

ln ⁡ x + 2 + 1 2 [ ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 3 x + 2 2 ]

Aplicamos agora a propriedade da diferença entre logaritmos na segunda parcela:

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Assim:

ln ⁡ x + 2 + 1 2 [ ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 3 x + 2 2 ] ⇒

ln ⁡ x + 2 + 1 2 ln ⁡ x ( x 2 + 3 x + 2 ) 2

Passo 3

Aplicando novamente a propriedade logarítmica do expoente , agora na segunda parcela e de maneira inversa, temos:

    ⁡ 1 n ln ⁡ a = ln ⁡ ( a 1 n )

ln ⁡ x + 2 + 1 2 ln ⁡ x ( x 2 + 3 x + 2 ) 2 ⇒

ln ⁡ x + 2 + ln ⁡ x 1 2 x 2 + 3 x + 2 2 2 ⇒

⇒ ln ⁡ x + 2 + ln ⁡ x x 2 + 3 x + 2

Passo 4

Simplificando a equação de segundo grau da segunda parcela em dois termos e fazendo o M.M.C. entre as parcelas, obtemos que:

ln ⁡ x + 2 + ln ⁡ x x 2 + 3 x + 2 ⇒

ln ⁡ x + 2 + ln ⁡ x x + 1 x + 2 ⇒ ln ⁡ ( x + 2 ) x ( x + 1 ) ( x + 2 )

Passo 5

Simplificando a equação chegamos em um único logaritmo :

ln ⁡ ( x + 2 ) x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⇒ ln ⁡ x x + 1

Resposta

ln ⁡ x x + 1

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