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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 20

Expresse as somas em formas fechadas.

sum_(k = 1)^n ((5)/(n) - (2 k)/(n))

Passo 1

Aqui o nosso n tá sendo a constante, e o k é a variável. Vamos começar separando isso, temos uma soma e uma constante multiplicando. Podemos colocar assim:

(5)/(n) sum_(k = 1)^n 1 - (2)/(n) sum_(k = 1)^n k

O primeiro somatório fica:

(5)/(n) sum_(k = 1)^n 1 = (5)/(n) (n) = 5

Passo 2

No segundo somatório, a gente usa o resultado do teorema que é:

sum_(k = 1)^n k = (n (n + 1))/(2)

Aí juntando com a constante multiplicativa, fica:

- (2)/(n) ((n (n + 1))/(2))

= - (n + 1)

E agora, só juntar os dois resultados...

sum_(k = 1)^n ((5)/(n) - (2 k)/(n)) = 5 - ( n + 1 )

= 4 - n

E prontinho!!

Resposta

4 - n

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