Seja diferenciável em , com para todo . Suponha que, para todo , , onde . Mostre que
Passo 1
A questão fornece uma função diferenciável e diz que , onde é uma função de e . O problema pede para mostrarmos que
Para isso, vamos escrever e . Desta forma, a relação pode ser reescrita como
O que iremos fazer é derivar essa expressão tanto com relação a como com relação a .
Passo 2
Derivando a expressão com relação a :
Mas como e , temos que
Portanto, temos que
Analogamente para :
Assim,
Passo 3
Por fim, vamos usar as informações obtidas no passo anterior para calcular
Desta forma,
Portanto,
Resposta
Demonstração.