Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 25
Seja diferenciável em , com para todo . Suponha que, para todo , , onde . Mostre que
Passo 1
A questão fornece uma função diferenciável e diz que , onde é uma função de e . O problema pede para mostrarmos que
Para isso, vamos escrever e . Desta forma, a relação pode ser reescrita como
O que iremos fazer é derivar essa expressão tanto com relação a como com relação a .
Passo 2
Derivando a expressão com relação a :
Mas como e , temos que
Portanto, temos que
Analogamente para :
Assim,
Passo 3
Por fim, vamos usar as informações obtidas no passo anterior para calcular
Desta forma,
Portanto,
Resposta
Demonstração.
Exercícios de Livros Relacionados
Admita que, para todo (x,y), 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0 . Prove que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 . (Sugestão. Observe que a função g do exercício anterior fornece os valor
14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
19. f ( t ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que g t ,f t = 0 , para todo t . Suponha f 0 = 1 , ∂ g ∂ x 0,1 = 2 e ∂ g ∂ y 0,1 = 4 . Determine a equação da reta tangente a γ t = t ,f t , n
4. Suponha que, para todo t , f t 2 ,2 t = t 3 - 3 t . mostre que ∂ f ∂ x 1,2 = - ∂ f ∂ y 1,2 .