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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 37

Extremos em uma curva de interseção Encontre os valores

extremos de ƒ(x, y, z) = x2yz + 1 na interseção do plano z = 1

com a esfera x2 + y2 + z2 = 10

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos os valores extremos da função f ( x , y , z ) = x 2 y z + 1 na interseção do plano z = 1 com a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 10 . Acompanhe!

Passo 2

Reescreveremos as funções de restrição da seguinte forma:

g 1 ( x , y , z ) = z - 1 = 0 g 2 ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 10 = 0

Agora, calcularemos os gradientes das funções para aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ g 1 = k ∇ g 2 = 2 x i + 2 y j + 2 z k ∇ f = 2 x y z i + x 2 y k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange teremos:

∇ f = λ ∇ g 1 + μ ∇ g 2 2 x y z i + x 2 z j + x 2 y k = λ ( k ) + μ ( 2 x i + 2 y j + 2 z k )

Passo 3

Separando as componentes temos:

2 x y z = 2 x μ x 2 z = 2 y μ x 2 y = 2 z μ + λ

Passo 4

Observamos que para 2 x y z = 2 x μ , teremos:

x y z = x μ

x = 0  ou  y z = μ . 

Como z = 1 , então μ = y .

Passo 5

Caso 1: se x = 0 e z = 1 , então:

g 2 ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 10 = 0 y 2 - 9 = 0 y = ± 3

Fornecendo os pontos ( 0 , ± 3,1 ) .Caso 2: se μ = y e z = 1 então:

x 2 z = 2 y μ x 2 = 2 y 2

Passo 6

Voltando em:

g 2 ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 10 = 0 2 y 2 + y 2 + 1 - 10 = 0 3 y 2 - 9 = 0 y = ± 3 .

Passo 7

Com o valor de y , encontramos que x vale:

x 2 = 2 y 2 x 2 = 2 ( ± 3 ) 2 x = ± 6

Encontrando, assim os pontos ( ± 6 , ± 3 , 1 ) .Para:

f ( 0 , ± 3,1 ) = 1 f ( ± 6 , ± 3 , 1 ) = 6 ( ± 3 ) + 1 f ( ± 6 , ± 3 , 1 ) = 1 ± 6 3

A resposta do nosso exercício é que 1 + 6 3 , ( ± 6 , 3 , 1 ) correspondem ao valor máximo da função e o ponto correspondente a esse valor. 1 - 6 3 , ( ± 6 , - 3 , 1 ) é o valor mínimo da função e o ponto correspondente a esse valor.

Resposta

Resposta nos passos.

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