A condição §ƒ = l§g não é suficiente Ainda que §ƒ = l§g

seja uma condição necessária para a ocorrência de um valor extremo de ƒ(x, y) sujeito às condições g(x, y) = 0 e §g Z 0, ela

não garante por si só que ele exista. Como exemplo, tente utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar

um valor máximo de ƒ(x, y) = x + y sujeito à restrição xy = 16.

O método irá identificar os dois pontos (4, 4) e (–4, –4) como

candidatos para a localização de valores extremos. Ainda assim,

a soma (x + y) não possui valor máximo na hipérbole xy = 16.

Quanto mais distante você vai com relação à origem nessa hipérbole no primeiro quadrante, maior fica a soma ƒ(x, y) = x + y.

Começaremos o exercício calculando o gradiente das funções, veja:

Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange temos:

Separando as componentes vamos ter:

Levando a Substituindo em temos:

Portanto, os pontos possíveis são:

Para resposta do nosso exercício, termos como possíveis candidatos a valores extremos os pontos . Entretanto, conforme temos que e a função . Por outro lado, se , temos que , e a função . Assim, não existe um valor máximo nem um valor mínimo sujeito a restrições.