Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 41
A condição §ƒ = l§g não é suficiente Ainda que §ƒ = l§g
seja uma condição necessária para a ocorrência de um valor extremo de ƒ(x, y) sujeito às condições g(x, y) = 0 e §g Z 0, ela
não garante por si só que ele exista. Como exemplo, tente utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar
um valor máximo de ƒ(x, y) = x + y sujeito à restrição xy = 16.
O método irá identificar os dois pontos (4, 4) e (–4, –4) como
candidatos para a localização de valores extremos. Ainda assim,
a soma (x + y) não possui valor máximo na hipérbole xy = 16.
Quanto mais distante você vai com relação à origem nessa hipérbole no primeiro quadrante, maior fica a soma ƒ(x, y) = x + y.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Neste exercício, tentaremos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o valor máximo da função sujeito às restrições que . Acompanhe!
Passo 2
Começaremos o exercício calculando o gradiente das funções, veja:
Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange temos:
Passo 3
Separando as componentes vamos ter:
Levando a Substituindo em temos:
Portanto, os pontos possíveis são:
Passo 4
Para resposta do nosso exercício, termos como possíveis candidatos a valores extremos os pontos . Entretanto, conforme temos que e a função . Por outro lado, se , temos que , e a função . Assim, não existe um valor máximo nem um valor mínimo sujeito a restrições.
Resposta
Resposta nos passos.