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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 11

Extremos sobre uma superfície Mostre que os únicos má-

ximos e mínimos possíveis de z sobre a superfície z = x3 +

y3 – 9xy + 27 ocorrem em (0, 0) e (3, 3). Mostre que nem um máximo nem um mínimo ocorre em (0, 0). Determine se z tem

um máximo ou um mínimo em (3, 3).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos começar as questões sobre valores extremos. Aqui temos três objetivos para cumprir neste exercício:Mostrar que os únicos máximos e mínimos para z na superfície z = x 3 + y 3 - 9 x y + 27 ocorre em ( 0,0 ) e ( 3,3 ) .

Mostrar que nenhum máximo e nem nenhum mínimo ocorre em ( 0,0 ) . Determina se z possui um valor máximo ou um valor mínimo em ( 3,3 ) .Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Considere as derivadas parciais abaixo. Vamos igualá-las a zero para encontrar os valores extremos:

∂ z ∂ x = 3 x 2 - 9 y = 0 ∂ z ∂ y = 3 y 2 - 9 x = 0

Observamos que:

y = 1 3 x 2

Substituindo na segunda equação:

3 1 3 x 2 2 - 9 x = 0 1 3 x 4 - 9 x = 0 x x 3 - 27 = 0

Encontramos então: x = 0 ou x = 3 .Para x = 0 temos y = 0 , ou seja o ponto ( 0,0 ) .

Para x = 3 temos y = 3 , ou seja o ponto ( 3,3 ) .Falta determinar as segundas derivadas. Vamos lá?As segundas derivadas valem então:

∂ 2 z ∂ x 2 = 6 x ∂ 2 z ∂ y 2 = 6 y ∂ 2 z ∂ x ∂ y = - 9

Para ( 0,0 ) temos:

∂ 2 z ∂ x 2 ∂ 2 z ∂ y 2 - ∂ 2 z ∂ x ∂ y 2 = - 81

Ou seja, não ocorre um valor extremo, mas sim um ponto de sela.

Passo 3

Para ( 3,3 ) encontramos:

∂ 2 z ∂ x 2 ∂ 2 z ∂ y 2 - ∂ 2 z ∂ x ∂ y 2 = 243 > 0 ∂ 2 z ∂ x 2 = 18 > 0

Em ( 3,3 ) temos um local mínimo.

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Seja U x , y = 2 x 2 + 1 2 y 2 a função energia potencial associada ao campo F → . Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição ( 1,1 ) com velocidade nula. Admita que F → é a única força atuando
Determine todas as funções f : R^2 - R tais que a)(del f)/(del x) = 9 x^2 y^2 - 10 x , (del f)/(del y) = 6 x^3 y + 1 b)(del f)/(del x) = y c o s (x y) + 3 x^2 - y , (del f)/(del y) = x c o s (x y) - x
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
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