Determine todas as funções f : R^2 - R tais que a)(del f)/(del x) = 9 x^2 y^2 - 10 x , (del f)/(del y) = 6 x^3 y + 1 b)(del f)/(del x) = y c o s (x y) + 3 x^2 - y , (del f)/(del y) = x c o s (x y) - x + 3 y^2 c)(del f)/(del x) = 2 x e^(x^2 + y^2) , (del f)/(del y) = 2 y e^(x^2 + y^2) + (1)/(1 + y^2)

Item a.f (x , y) = 3 x^3 y^2 - 5 x + y + k Item b.f (x , y) = s e n (x y) + x^3 - y x + y^3 + k Item c.f (x , y) = 2 y e^(x^2 + y^2) + a r c t g ( y ) + k

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 1

Determine todas as funções tais que

a)

b)

c)

Passo 1

Inicialmente resolveremos resolver o item a. Para isso, vamos verificar se existe a função

Sendo assim,

Logo, a função existe. Sendo assim,

Dessa maneira,

Por outro lado,

Logo, e consequentemente , onde é uma constante.

Portanto,

Passo 2

Inicialmente resolveremos resolver o item b. Para isso, vamos verificar se existe a função

Sendo assim,

Logo, a função existe. Sendo assim,

Perceba que temos uma constante de já que nossa função também depende de e integramos apenas com relação a e que, como são positivos então podemos tirar o módulo.