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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 1

Determine todas as funções f : R^2 -> R tais que

a)

(del f)/(del x) = 9 x^2 y^2 - 10 x , (del f)/(del y) = 6 x^3 y + 1

b)

(del f)/(del x) = y c o s (x y) + 3 x^2 - y , (del f)/(del y) = x c o s (x y) - x + 3 y^2

c)

(del f)/(del x) = 2 x e^(x^2 + y^2) , (del f)/(del y) = 2 y e^(x^2 + y^2) + (1)/(1 + y^2)

Passo 1

Inicialmente resolveremos resolver o item a. Para isso, vamos verificar se existe a função

(del f)/(del x) = P ( x , y ) = 9 x^2 y^2 - 10 x

(del f)/(del y) = Q ( x , y ) = 6 x^3 y + 1

Sendo assim,

(del P)/(del y) = 18 x^2 y

(del Q)/(del x) = 18 x^2 y

Logo, a função existe. Sendo assim,

f (x , y) = int (del f)/(del x) d x = int 9 x^2 y^2 - 10 x d x = int 9 x^2 y^2 d x - int 10 x d x

= (9 x^3)/(3) y^2 - (10 x^2)/(2) + C (y) = 3 x^3 y^2 - 5 x^2 + C ( y )

Dessa maneira,

(del f ( x , y ))/(del y) = 6 x^3 y + C ' ( y )

Por outro lado,

(del f ( x , y ))/(del y) = 6 x^3 y + 1

Logo, C^' (y) = 1 e consequentemente C (y) = y + k , onde k é uma constante.

Portanto,

f (x , y) = 3 x^3 y^2 - 5 x + y + k

Passo 2

Inicialmente resolveremos resolver o item b. Para isso, vamos verificar se existe a função

(del f)/(del x) = P ( x , y ) = y c o s (x y) + 3 x^2 - y

(del f)/(del y) = Q ( x , y ) = x c o s (x y) - x + 3 y^2

Sendo assim,

(del P)/(del y) = cos (x y) - y x s e n (x y) - 1

(del Q)/(del x) = cos (x y) - y x s e n (x y) - 1

Logo, a função existe. Sendo assim,

f (x , y) = int (del f)/(del x) d x = int y c o s (x y) + 3 x^2 - y d x = int y c o s (x y) d x + 3 int x^2 d x - y int 1 d x

= y (s e n ( x y ))/(y) + (3 x^3)/(3) - y x + C (y) = s e n ( x y ) + x^3 - y x + C (y)

Perceba que temos uma constante de y já que nossa função também depende de y e integramos apenas com relação a x e que, como x , y são positivos então podemos tirar o módulo.

Além disso,

(del f ( x , y ))/(del y) = x c o s (x y) - x + C ' ( y )

Por outro lado,

(del f ( x , y ))/(del y) = x c o s (x y) - x + 3 y^2

Daí,

x c o s (x y) - x + 3 y^2 = x c o s (x y) - x + C ' ( y )

Passo 3

Vamos tentar descobrir qual a constante que depende de y . Vejamos que

x c o s (x y) - x + 3 y^2 = x c o s (x y) - x + C ' ( y )

Logo,

C^' (y) = 3 y^2

e consequentemente

C (y) = int 3 y^2 d y = y^3 + k ,

onde k é uma constante.

Portanto,

f (x , y) = s e n (x y) + x^3 - y x + y^3 + k

Passo 4

Inicialmente resolveremos resolver o item c. Para isso, vamos verificar se existe a função

(del f)/(del x) = P ( x , y ) = 2 x e^(x^2 + y^2)

(del f)/(del y) = Q ( x , y ) = 2 y e^(x^2 + y^2) + (1)/(1 + y^2)

Sendo assim,

(del P)/(del y) = 2 x e^(x^2 + y^2) (2 y) = 4 x y e^(x^2 + y^2)

(del Q)/(del x) = 2 y e^(x^2 + y^2) (2 x) = 4 x y e^(x^2 + y^2)

Logo, a função existe. Sendo assim,

f (x , y) = int (del f)/(del x) d x = int 2 x e^(x^2 + y^2) d x

Utilizando técnica de substituição, ou seja, considerando u = e^(x^2 + y^2) => d u = 2 x (e^(x^2 + y^2)) d x => (d u)/(2 x (e^(x^2 + y^2))) = d x => (d u)/(2 x (u)) = d x . Assim,

int 2 x e^(x^2 + y^2) d x = int 2 x u (d u)/(2 x (u)) = int 1 d u = u

Como estamos com uma integral indefinida precisamos da função na variável original, ou seja,

int 2 x e^(x^2 + y^2) d x = e^(x^2 + y^2) + C ( y )

Dessa maneira,

(del f ( x , y ))/(del y) = 2 y e^(x^2 + y^2) + C ' ( y )

Por outro lado,

(del f ( x , y ))/(del y) = 2 y e^(x^2 + y^2) + (1)/(1 + y^2)

Logo, C^' (y) = (1)/(1 + y^2) e consequentemente C (y) = a r c t g ( y ) + k , onde k é uma constante.

Portanto,

f (x , y) = 2 y e^(x^2 + y^2) + a r c t g ( y ) + k

Resposta

Item a.

f (x , y) = 3 x^3 y^2 - 5 x + y + k

Item b.

f (x , y) = s e n (x y) + x^3 - y x + y^3 + k

Item c.

f (x , y) = 2 y e^(x^2 + y^2) + a r c t g ( y ) + k

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