Determine todas as funções f: R^2 → R tais que

a)

∂f/∂x = 9x^2y^2 - 10x, ∂f/∂y = 6x^3y + 1

b)

(∂f/∂x) = ycos(xy) + 3x^2 - y, (∂f/∂y) = xcos(xy) - x + 3y^2

c)

∂f/∂x = 2x \* e^(x^2 + y^2), ∂f/∂y = 2y \* e^(x^2 + y^2) + 1/(1 + y^2)

Passo 1

Inicialmente resolveremos resolver o item a. Para isso, vamos verificar se existe a função

∂ f ∂ x = P ( x , y ) = 9 x 2 y 2 - 10 x

∂ f ∂ y = Q ( x , y ) = 6 x 3 y + 1

Sendo assim,

∂ P ∂ y = 18 x 2 y

∂ Q ∂ x = 18 x 2 y

Logo, a função existe. Sendo assim,

f x , y = ∫ ∂ f ∂ x d x = ∫ 9 x 2 y 2 - 10 x d x = ∫ 9 x 2 y 2 d x -   ∫ 10 x d x

= 9 x 3 3 y 2 - 10 x 2 2 + C y = 3 x 3 y 2 - 5 x 2 + C ( y )

Dessa maneira,

∂ f ( x , y ) ∂ y = 6 x 3 y + C ' ( y )

Por outro lado,

∂ f ( x , y ) ∂ y = 6 x 3 y + 1

Logo, C ' y = 1 e consequentemente C y = y + k , onde k é uma constante.

Portanto,

f x , y = 3 x 3 y 2 - 5 x + y + k

Passo 2

Inicialmente resolveremos resolver o item b. Para isso, vamos verificar se existe a função

∂ f ∂ x = P ( x , y ) = y c o s x y + 3 x 2 - y  

∂ f ∂ y = Q ( x , y ) = x c o s x y - x + 3 y 2

Sendo assim,

∂ P ∂ y = cos ⁡ x y - y x s e n x y - 1

∂ Q ∂ x = cos ⁡ x y - y x s e n x y - 1

Logo, a função existe. Sendo assim,

f x , y = ∫ ∂ f ∂ x d x = ∫ y c o s x y + 3 x 2 - y d x = ∫ y c o s x y d x + 3   ∫ x 2 d x - y ∫ 1 d x

= y s e n ( x y ) y + 3 x 3 3 - y x + C y = s e n ( x y ) + x 3 - y x + C y

Perceba que temos uma constante de y já que nossa função também depende de y e integramos apenas com relação a x e que, como x , y são positivos então podemos tirar o módulo.

Além disso,

∂ f ( x , y ) ∂ y = x c o s x y - x + C ' ( y )

Por outro lado,

∂ f ( x , y ) ∂ y = x c o s x y - x + 3 y 2

Daí,

x c o s x y - x + 3 y 2 =     x c o s x y - x + C ' ( y )

Passo 3

Vamos tentar descobrir qual a constante que depende de y . Vejamos que

x c o s x y - x + 3 y 2 =     x c o s x y - x + C ' ( y )

Logo,

C ' y = 3 y 2

e consequentemente

C y =   ∫ 3 y 2   d y =   y 3 + k ,

onde k é uma constante.

Portanto,

f x , y = s e n x y + x 3 - y x + y 3 + k

Passo 4

Inicialmente resolveremos resolver o item c. Para isso, vamos verificar se existe a função

∂ f ∂ x = P ( x , y ) = 2 x e x 2 + y 2  

∂ f ∂ y = Q ( x , y ) = 2 y e x 2 + y 2 + 1 1 + y 2

Sendo assim,

∂ P ∂ y = 2 x e x 2 + y 2 2 y = 4 x y e x 2 + y 2

∂ Q ∂ x = 2 y e x 2 + y 2 2 x = 4 x y e x 2 + y 2

Logo, a função existe. Sendo assim,

f x , y = ∫ ∂ f ∂ x d x = ∫ 2 x e x 2 + y 2   d x  

Utilizando técnica de substituição, ou seja, considerando u = e x 2 + y 2 ⇒ d u = 2 x e x 2 + y 2 d x ⇒ d u 2 x e x 2 + y 2 = d x ⇒ d u 2 x u = d x . Assim,

∫ 2 x e x 2 + y 2 d x = ∫ 2 x u d u 2 x u = ∫ 1 d u = u

Como estamos com uma integral indefinida precisamos da função na variável original, ou seja,

∫ 2 x e x 2 + y 2 d x = e x 2 + y 2 + C ( y )

Dessa maneira,

∂ f ( x , y ) ∂ y = 2 y e x 2 + y 2 + C ' ( y )

Por outro lado,

∂ f ( x , y ) ∂ y = 2 y e x 2 + y 2 + 1 1 + y 2

Logo, C ' y = 1 1 + y 2 e consequentemente C y = a r c t g ( y ) + k , onde k é uma constante.

Portanto,

f x , y = 2 y e x 2 + y 2 + a r c t g ( y ) + k

Resposta

Item a.

f x , y = 3 x 3 y 2 - 5 x + y + k

Item b.

f x , y = s e n x y + x 3 - y x + y 3 + k

Item c.

f x , y = 2 y e x 2 + y 2 + a r c t g ( y ) + k

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