Seja U(x, y) = 2*x^2 + 1/2*y^2 a função energia potencial associada ao campo F →

  1. Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição (1,1) com velocidade nula. Admita que F → é a única força atuando sobre a partícula . Determine a posição γ(t) = (x(t), y(t)) da partícula no instante t. Desenhe a trajetória descrita pela partícula.

Passo 1

O ponto chave da questão é perceber que do campo que encontramos, temos que ele representa nossa aceleração, usando a Lei de Newton ou seja, tomando x , y como sendo as coordenadas da função deslocamento, temos que

x ¨ =   - 4 x  

  y ¨ =   - y (*)

A questão nos dia que a partícula é abandona na posição 1,1 . Em outras palavras,

  x 0 = 1  

  y 0 = 1

Além disso, tinha velocidade nula, ou seja,

x ˙ 0 = 0

  y ˙ 0 = 0

Estamos só interpretando as informações do problema, ok?

Passo 2

De (*), temos que

x + 4 x ¨ = 0

y ¨ + y = 0

Pela lei de Newton, γ =   ¨ F ( γ t ) Daí,

x = A 1 cos ⁡ 2 t + B 1 s e n 2 t ,  

y = A 2 cos ⁡ t   + B 2 s e n t  

O que significa que nossa parametrização é da forma

  γ t = cos ⁡ 2 t ,   c o s t .

Usando a identidade cos ⁡ 2 t = 2 cos 2 ⁡ t - 1 ,

A imagem de γ esta contida na parábola x = 2 y 2 - 1

Como y = c o s t   a imagem de γ   é arco da parábola

x = 2 y 2 - 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1  

Resposta

Arco da parábola

x = 2 y 2 - 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1  

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