Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 12 b
Seja a função energia potencial associada ao campo
- Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição com velocidade nula. Admita que é a única força atuando sobre a partícula . Determine a posição da partícula no instante t. Desenhe a trajetória descrita pela partícula.
Passo 1
O ponto chave da questão é perceber que do campo que encontramos, temos que ele representa nossa aceleração, usando a Lei de Newton ou seja, tomando como sendo as coordenadas da função deslocamento, temos que
(*)
A questão nos dia que a partícula é abandona na posição Em outras palavras,
Além disso, tinha velocidade nula, ou seja,
Estamos só interpretando as informações do problema, ok?
Passo 2
De (*), temos que
Pela lei de Newton, Daí,
O que significa que nossa parametrização é da forma
Usando a identidade
A imagem de esta contida na parábola
Como a imagem de é arco da parábola
Resposta
Arco da parábola
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Esboce o vetor gradiente ∇ f 4,6 para a função f para qual as curvas de nível são mostradas abaixo. Explique como você escolheu a direção e o sentido desse vetor.
37. Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a seguinte propriedade. Suponha que u e v sejam funções de x e y diferenciáveis, e a e b sejam constantes. ∇ a u + b v =a ∇ u + b ∇
Se f x , y = x y , encontre o vetor gradiente ∇ f 3,2 e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível f x , y = 6 no ponto 3,2 . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente
(a) Determine o gradiente de f .(b) Calcule o gradiente no ponto P .(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u . f x , y = 5 x y 2 - 4 x 3 y P 1,2 u = 5 13 , 12 13
(a) Determine o gradiente de f .(b) Calcule o gradiente no ponto P .(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u . f x , y = y ln x P 1 ,- 3 u = - 4 5 , 3 5