Um fabricante de recipientes impermeabilizados de papelão para bebidas quer construí-los na forma de um paralelepípedo fechado com base quadrada e capacidade de 1/10 litro (100 cm3). Dê uma estimativa para as dimensões do recipiente que requer a menor quantidade de material para sua fabricação.

Passo 1

O recipiente que requer a menor quantidade de material é aquele com a menor área. E, como será um recipiente na forma de paralelepípedo com base quadrada, a área dele será a soma das áreas das laterais com as áreas da tampa e da base:

Como podemos ver, serão 4 áreas dos retângulos das laterais e duas áreas de quadrados, um da tampa e outro da base. Com isso, a área lateral:

A L = 4 a h + 2 a 2

Mas vamos achar uma relação entre a e h para ter algo mais concreto haha.

Passo 2

Queremos que o recipiente tenha 100   c m 3 de capacidade. O volume dele é dado pela multiplicação da área da base pela altura:

V = A b h

A base é um quadrado, como vimos na imagem anterior, assim:

V = a 2 h

Dessa forma, vamos substituir V = 100   c m 3 :

100 = a 2 h

h = 100 a 2

Assim, podemos substituir essa informação na equação para a área lateral:

A L = 4 a h + 2 a 2

A L = 4 a ∙ 100 a 2 + 2 a 2

A L ( a ) = 4 00 a + 2 a 2

Opa, então temos a área lateral em função do lado do quadrado da base, certo? Vamos jogar isso num gráfico, lembrando que só teremos valores positivos para a , já que é uma medida de comprimento:

Como queremos a menor área lateral possível, vemos que o menor valor da função ocorre em aproximadamente quando a = 130   c m . Então, esse será o valor do lado do quadrado da base.

A altura será dada pela relação que achamos ali em cima:

h = 100 a 2

h = 100 130 2 = 0,006   c m

Prontinho!

Resposta

Base quadrada com lado a = 130   c m e altura h = 0,006   c m

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