18. ∫ 2 + 3 x 2 - 8 x 3 d x

Passo 1

Para essa integral utilizaremos a propriedade de integração que nos diz que, a integral de uma soma (ou diferença) é igual soma (ou diferença) das integrais. De modo que podemos levar a integral que nos foi dada a uma forma que seja mais fácil trabalhar, logo encontramos a seguinte forma para integral:

I = [ ∫ ( 2 ) d x ] + [ ∫ ( 3 x 2 ) d x ] - [ ∫ ( 8 x 3 ) d x ]

Agora que a inegral tomou uma forma mais conhecida passamos ao próximo passo.

Passo 2

Depois de identificar qual é a variável do problema, retiramos qualquer constante que estiver dentro da integral e estiver multiplicando (ou dividindo) nossa variável.

Ex: ∫ ( a x )   d x = a ∫ x d x .

De modo que a integral pode ser ainda mais simplificada:

I = [ 2 ∫ ( x 0 ) d x ] + [ 3 ∫ x 2 d x ] - [ 8 ∫ x 3 d x ]

Passo 3

Agora para resolver precisamos relembrar que qualquer integral polinomial de uma variável qualquer pode pode ser resolvida da seguinte maneira:

I = ∫ ( x n ) d x =   x n + 1 n + 1 + c      

Onde “n” é o expoente da variável.

Quando estamos resolvendo a integral proposta, percebemos que aparece uma integral de uma constante, podemos resolver essa integral da seguinte forma:

I = 2 ∫ 1 d x  

I = 2 ∫ x 0 d x

Sabendo que qualquer valor elevado ao expoente zero(0) é igual a um (1) então podemos escrever a integral acima da seguinte forma.

I = 2 ∫ ( x 0 ) d x = 2 x 0 + 1 = 2 x

Tendo agora a base teórica necessário, passamos ao próximo passo.

Passo 4

Agora é possível dar início á resolução da integral:

I = [ 2 ∫ ( x 0 ) d x ] + [ 3 ∫ x 2 d x ] - [ 8 ∫ x 3 d x ]

I = 2 x 0 + 1 0 + 1 + 3 x 2 + 1 2 + 1 - 8 x 3 + 1 3 + 1 + c

I = 2 x + 3 x 3 3 - 8 x 4 4 + c

OBS: Não se esqueçam de colocar o resultado da integral somado a uma constante, é ela que vai diferenciar sua função de uma infinidade de outras que são paralelas a ela.

Resposta

Fazendo simplificações nas frações chegamos ao seguinte resultado:

I = 2 x + x 3 - 2 x 4 + c

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