Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas da grade que têm constante e quais têm constante.

Primeiro então vamos achar os valores de . Sabemos que :

Então:

Plotando em uma calculadora gráfica 3D, a superfície parametrizada é:

Agora vamos fazer com que seja constante, mas antes vamos tentar achar uma relação entre as equações.

Se elevarmos as equações de e ao quadrado e somarmos :

+

teremos que:

Sabemos que .

E como aqui a gente tá considerando constante, essa equação aí é bem parecida com a de uma circunferência:

Então as equações descrevem uma circunferência no plano de raio . Assim, a curva correspondente são circunferências paralelas ao plano .

Pra cada valor de , pra cada valor de a circunferência vai ter um raio diferente.

Podemos representar um deles graficamente:

Agora vamos ver como fica a curva quando é constante:

Vamos dividir a segunda equação pela terceira:

Mas como é uma constante, então a sua tangente também vai ser constante. Vamos reescrever assim:

E finalmente isso tá com uma cada mais conhecidinha. Isso é uma reta ne, o que significa que nos planos paralelos ao plano , nós vamos ter retas com inclinação .

Hmmm mas e a variável ???

Bom, como e , nós temos:

Substituindo em :

Mas lembre-se novamente que é constante, então seu seno e cosseno também vão ser. A gente vai inventar aqui duas constantes novas, mas não se assusta, é só pra você ver que essas equações são mais familiares do que você pensa:

Ta vendo, é apenas um polinômio de grau 3 e o seu comportamento já é bem conhecido.

Então concluímos finalmente que, quando é constante, a gente vai ter polinômios de grau 3, nos planos e .

escrever tudo em função de

Logo:

Assim, essas são as curvas que estão nos planos que passam pelo eixo .