Enunciado

Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas da grade que têm u constante e quais têm v constante.

r u , v = u 3 , u   s e n   v , u c o s   v   ,     - 1 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 2 π

Passo 1

Fala ai gente . O exercício está pedindo para a gente plotar o gráfico da superfície parametrizada de:

r u , v = u 3 , u   s e n   v , u c o s   v  

Onde:

- 1 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 2 π

e determinar quais serão as curvas de grade que têm u constante e quais têm v constante.

Primeiro passo que vamos fazer é achar os valores correspondentes a x , y   e   z e z e depois plotar o gráfico em um software.

Depois iremos analisar as curvas de grade vendo comomanipular as equações ficam considerandocom u constante e comou v constantes, e ver que tipo de função a gente encontra..

Partiu!

Passo 2

Primeiro então vamos achar os valores de x , y   e   z . Sabemos que :

r u , v = u 3 , u   s e n   v , u   c o s   v  

Então:

x = u 3

y = u   s e n   v

z = u   c o s   v  

Plotando em uma calculadora gráfica 3D, a superfície parametrizada é:

Passo 3

Agora vamos fazer com que u seja constante, mas antes vamos tentar achar uma relação entre as equações.

x = u 3

y = u   s e n   v

z = u   c o s   v  

Se elevarmos as equações de y e z ao quadrado e somarmos :

y 2 = u 2   s e n 2   v

+

z 2 = u 2 c o s 2   v  

teremos que:

y 2 + z 2 = u 2 (   s e n 2   v + c o s 2   v )

Sabemos que   s e n 2   v + c o s 2   v   = 1 .

y 2 + z 2 = u 2

E como aqui a gente tá considerando u constante, essa equação aí é bem parecida com a de uma circunferência:

y 2 + z 2 = c t e

Então as equações descrevem uma circunferência no plano y z de raio u . Assim, a curva correspondente são circunferências paralelas ao plano y z .

Pra cada valor de x = u 3 , pra cada valor de x a circunferência vai ter um raio diferente.

Podemos representar um deles graficamente:

Passo 4

Agora vamos ver como fica a curva quando v é constante:

x = u 3

y = u   s e n   v

z = u   c o s   v  

Vamos dividir a segunda equação pela terceira:

y z = s e n   v cos ⁡ v

y z = tan ⁡ v

Mas como v é uma constante, então a sua tangente também vai ser constante. Vamos reescrever assim:

y z = k

y = k z

E finalmente isso tá com uma cada mais conhecidinha. Isso é uma reta ne, o que significa que nos planos paralelos ao plano y x , nós vamos ter retas com inclinação k = tan ⁡ v .

Hmmm mas e a variável x ???

Bom, como y = u   s e n   v e z = u   c o s   v , nós temos:

u = y s e n   v

u = z cos ⁡ v

Substituindo em x = u 3 :

x = y 3 s e n 3   v

x = z 3 c o s 3   v

Mas lembre-se novamente que v é constante, então seu seno e cosseno também vão ser. A gente vai inventar aqui duas constantes novas, mas não se assusta, é só pra você ver que essas equações são mais familiares do que você pensa:

x = A   y 3

x = B   z 3

Ta vendo, é apenas um polinômio de grau 3 e o seu comportamento já é bem conhecido.

Então concluímos finalmente que, quando v é constante, a gente vai ter polinômios de grau 3, nos planos x y e x z .

escrever tudo em função de   v

→ z = u c o s   v  

u = z c o s   v    

Logo:

→ y = u   s e n   v

y = z c o s   v   s e n   v = z   t a n   v

→ x = u 3

u = z c o s   v  

Assim, essas são as curvas que estão nos planos y = k z que passam pelo eixo x .

Resposta

u constante são circunferências paralelas ao plano y z .

v constante são correspondentes às curvas que estão nos planos y = k z que passam pelo eixo x .

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