Use a continuidade para avaliar o limite.

lim x → 2 ⁡ x 20 - x 2

Passo 1

E aí, tudo bem?! Aqui temos o limite:

lim x → 2 ⁡ x 20 - x 2

Aqui a gente vai usar a continuidade pra calcular esse limite. Mas como assim?!

Aqui a gente tem o limite de uma função composta, percebe que o x esta multiplicando a raiz?!

Então, com isso a gente pode dizer, que:

h x = f g x

É aqui que o negócio fica bom! Temos que, se f e g forem funções contínuas em x = 2 , então f g x também é contínua. E se a galera toda é contínua nesse ponto, podemos substituir x = 2 em h x = x 20 - x 2 e correr pro abraço!

Ahh, podemos dizer que uma função é contínua em x = 2 se x = 2 estiver no seu domínio. Isso é, tá tudo bem substituir esse valor na função sem gerar um problema matemático, como uma raiz quadrada negativa, ou um quociente igual a zero, por exemplo!

Passo 2

Temos então:

h x = 20 - x 2

Onde:

f x = x

g x = 20 - x 2

Vamos analisar primeiro o domínio de:

f x = x

Aqui é muito simples, não existe nenhuma restrição. O domínio de f ( x ) é os números reais, então ela é contínua em x = 2 .

Agora vamos olhar:

g x = 20 - x 2

Aqui precisamos que a raiz seja positiva. Então:

20 - x 2 ≥ 0

Podemos fazer:

x 2 ≤ 20

x ≤ 20

Como x = 2 é menor que 20 , então g ( x ) é contínua em x = 2 . Se f ( x ) e g ( x ) são contínuas no nosso ponto, então agora é só calcular!

Vamos lá:

lim x → 2 ⁡ x 20 - x 2

Substituindo:

lim x → 2 ⁡ x 20 - x 2 = 2 20 - 2 2

= 2 20 - 2 2 = 2 16

= 2 × 4 = 8

Portanto:

lim x → 2 ⁡ x 20 - x 2 = 8

Prontinho!

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 20 - x 2 = 8

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