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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1b

Resolva a equação

b ) overset(¨)(x) + 5 x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + 5 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 5 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 5) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 5) = 0 -> lambda^2 + 5 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 0 e c = 5 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 0 +- sqrt(0^2 - 4 (1) (5)))/(2 (1)) = +- (sqrt(- 20))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

+- (sqrt(20 i^2))/(2) = +- (sqrt(5 ( 2 i )^2))/(2) = +- (2 sqrt(5))/(2) i = +- sqrt(5) i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = 0 e beta = sqrt(5)

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x (t) = e^(0 t) [A cos sqrt(5) t + B sin sqrt(5) t] = A cos sqrt(5) t + B sin sqrt(5) t

Resposta

x (t) = A cos sqrt(5) t + B sin sqrt(5) t

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