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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 37

Dentre as coordenadas cilíndricas e esféricas, utiliza a que lhe parecer mais apropriada.

Um cilindro sólido possui densidade constante e raio de base a e altura h .

  1. Encontre o momento de inércia do cilindro com relação ao seu eixo.
  2. Encontre o momento de inércia do cilindro com relação ao seu diâmetro da base.

Passo 1

Fala, galera! Tudo certo?

Nossa questão quer o momento de inércia do cilindro:

  1. Em relação ao seu eixo, que no caso é o eixo z , então precisamos achar:

    2. I z = ∫ ∫ ∫ E   x 2 + y 2 ρ x , y , z d V

  2. Em Relação ao seu diâmetro de base, que calculamos usando:

I x = ∫ ∫ ∫ E   y 2 + z 2 ρ x , y , z d V

Para as duas integrais triplas faltam os limites de integração, que vamos tirar da descrição do nosso cilindro.

Como temos um cilindro, é mais apropriado usarmos coordenadas cilíndricas.

Vamos lá!

Passo 2

  1. Encontre o momento de inércia do cilindro com relação ao seu eixo.

    2. Para facilitar os cálculos, podemos posicionar o cilindro de tal forma que a sua base esteja no plano x y , então podemos usar coordenadas cilíndricas para descrever o sólido. Das equações de transformação para coordenadas cilíndricas, temos:

    x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ ,   z = z ,   x 2 + y 2 + z 2 = r 2

    O momento de inércia com relação ao eixo z então será dado por:

    I z = ∫ ∫ ∫ E   x 2 + y 2 ρ x , y , z d V

    Aplicando as equações de transformação, e sabendo que a densidade é constante ρ = K , podemos reescrever a integral anterior como:

    I z = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 h K r 2 r d z d r d θ

    Podemos separar as variáveis em cada uma das integrais:

    I z = K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a r 3 d r ∫ 0 h d z

    E podemos resolver as integrais simultaneamente, sendo assim, temos:

    I z = K θ 0 2 π 1 4 r 4 0 a z 0 h

    I z = K 2 π - 0 1 4 a 4 - 0 ( h - 0 )

    Dessa forma, simplificando a expressão, temos:

    I z = 1 2 K π a 4 h

    Passo 3

  2. Encontre o momento de inércia do cilindro com relação ao seu diâmetro da base.

Devido a simetria do cilindro, quaisquer dois momentos em relação ao diâmetro da base serão iguais, sendo assim, só precisamos calcular um deles, com isso, temos:

I x = ∫ ∫ ∫ E   y 2 + z 2 ρ x , y , z d V

Aplicando as equações de transformação, e sabendo que a densidade é constante ρ = K , podemos reescrever a integral anterior como:

I x = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 h K r 2 s e n 2 θ + z 2 r d z d r d θ

Passo 3

Iremos separar a integral em duas para que depois possamos resolve-la simultaneamente, e não de maneira iterada, sendo assim, temos:

I x = K ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 h r 3 s e n 2 θ d z d r d θ + K ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 h r z 2 d z d r d θ

Podemos separar as variáveis em cada uma das integrais:

I z = K ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ ∫ 0 a r 3 d r ∫ 0 h d z + K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a r d r ∫ 0 h z 2 d z

E podemos resolver as integrais simultaneamente, sendo assim, temos:

I x = K 1 2 θ - 1 4 s e n 2 θ 0 2 π 1 4 r 4 0 a z 0 h + K θ 0 2 π 1 2 r 2 0 a 1 3 z 3 0 h

Aplicando os limites de integração:

I x = K 1 2 2 π 1 4 a 4 h - K 2 π 1 2 a 2 1 3 h 3

Dessa forma, simplificando a expressão, temos:

I x = K π 4 a 4 h + K π 3 a 2 h 3

Resposta

I z = 1 2 K π a 4 h

I x = K π 4 a 4 h + K π 3 a 2 h 3

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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule o valor da integral.
Use coordenadas esféricas.
Use coordenadas esféricas.
Use coordenadas esféricas.Encontre o volume da parte da esfera ρ≤a que fica entre os cones ϕ = π 6 e ϕ = π 3 .
Use coordenadas esféricas.