Jogadores de beisebol Um campo de beisebol é um quadrado que mede 90 pés de um lado. Um jogador corre da primeira para a segunda base a uma velocidade de 16 pés/s.

a. Qual a taxa de variação da distância entre o jogador e a terceira base quando ele está a 30 pés da primeira base?

b. Qual a taxa de variação dos ângulos e (veja a figura) nesse momento?

c. O jogador desliza para a segunda base a uma velocidade de 15 pés/s. Qual a taxa de variação dos ângulos e quando o jogador toca a base?

Independente de onde o jogador esteja dentro dessa linha sempre se formará um triângulo retângulo entre o jogador a segunda base e a terceira base. E um desses catetos será sempre 90 ft. Então com essas informações podemos escrever os primeiros dados:

Onde s é a distância do jogador a terceira base e x a distância do jogador a segunda base.

Outra relação importante é em relação aos ângulos e e como se trata de um triângulo retângulo podemos tranquilamente usar relações trigonométricas.

Derivando no tempo todas as equações temos:

Substituindo todos os termos na primeira equação teremos:

Logo:

Com esse resultado conseguimos fazer as outras duas:

Para a variação do

A situação da letra c nos diz que o jogador está no limite de chegar na segunda base e para isso sua velocidade . Para isso a gente vai utilizar os mesmos modelos utilizados na letra anterior.

Onde chamaremos de . E . O primeiro vem da própria relação trigonométrica e a segunda da primeira equação diferencial do passo 3 mesmo. Dessa forma:

Logo ficamos com:

O que prova nossa complementaridade, se um decresce outro decresce e vice-versa.

Porém:

Logo:

Fazendo x tender a zero temos:

Como