Jogadores de beisebol Um campo de beisebol é um quadrado que mede 90 pés de um lado. Um jogador corre da primeira para a segunda base a uma velocidade de 16 pés/s.

a. Qual a taxa de variação da distância entre o jogador e a terceira base quando ele está a 30 pés da primeira base?

b. Qual a taxa de variação dos ângulos θ 1 e θ 2 (veja a figura) nesse momento?

c. O jogador desliza para a segunda base a uma velocidade de 15 pés/s. Qual a taxa de variação dos ângulos θ 1 e θ 2   quando o jogador toca a base?

Passo 1

Na questão chamarei:

X a distância do jogador para a segunda basey a distância do segunda base a terceira base = 90ft

S a distância do jogador a terceira base

Dados da questão:

d x d t = - 16 f t s

Uma vez que a distância em x diminui a medida que o jogador corre, então a velocidade é negativa.

A questão fala que o jogador está a 30 pés da primeira base, logo ele está a 60 pés da segunda base

Questão pede a variação dos ângulos e de s quando x=60

Logo:

s = 6 0 2 + 9 0 2 = 30 13   f t

Uma dica para fazer essa conta sem calculadora é fazer:

s = 2 × 30 2 + 3 × 30 2 = 4 × 30 2 + 9 × 30 2 =   13 × 30 2 = 30 13

Logo temos as seguintes relações trigonométricas para os ângulos:

s i n θ 1 = 3 13 13     ; cos ⁡ θ 1 = 2 13 13     ; t g θ 1 = 3 2

s i n θ 2 = 2 13 13   ; cos ⁡ θ 2 = 3 13 13   ; t g θ 2 = 2 3

Passo 2

Independente de onde o jogador esteja dentro dessa linha sempre se formará um triângulo retângulo entre o jogador a segunda base e a terceira base. E um desses catetos será sempre 90 ft. Então com essas informações podemos escrever os primeiros dados:

s 2 = x 2 + 90 2

Onde s é a distância do jogador a terceira base e x a distância do jogador a segunda base.

Outra relação importante é em relação aos ângulos   θ 1 e θ 2 e como se trata de um triângulo retângulo podemos tranquilamente usar relações trigonométricas.

cos ⁡ θ 2 = 90 s                     ; s i n θ 1 = 90 s

Passo 3

Derivando no tempo todas as equações temos:

2 s d s d t = 2   x d x d t

- s i n θ 2 d θ 2 d t = - 90 s 2 d s d t

cos ⁡ θ 1 d θ 1 d t   = - 90 s 2 d s d t

Substituindo todos os termos na primeira equação teremos:

30 13 [ f t ] d s d t = 6 0 [ f t ] ×   - 16 f t s

Logo:

d s d t = - 32 13 13 f t s

Com esse resultado conseguimos fazer as outras duas:

- 2 13 13 × d θ 2 d t =   - 90 30 13 2 × - 32 13   13   → d θ 2 d t = - 8 65   r a d s    

Para a variação do θ 1

2 13 13 × d θ 1 d t =   - 90 30 13 2 × - 32 13 13 →   d θ 1 d t = 8 65 r a d s

Passo 4

A situação da letra c nos diz que o jogador está no limite de chegar na segunda base e para isso sua velocidade d x d t = - 15 f t s . Para isso a gente vai utilizar os mesmos modelos utilizados na letra anterior.

- s i n θ 2 d θ 2 d t = - 90 s 2 d s d t

cos ⁡ θ 1 d θ 1 d t   = - 90 s 2 d s d t

Onde chamaremos sin ⁡ θ 2 = c o s ⁡ θ 1   de x s . E d s d t = x s d x d t . O primeiro vem da própria relação trigonométrica e a segunda da primeira equação diferencial do passo 3 mesmo. Dessa forma:

- x s d θ 2 d t =   - 90 s 2 x s d x d t

x s d θ 1 d t = - 90 s 2 x s   d x d t

Logo ficamos com:

d θ 2 d t = 90 s 2 d x d t

d θ 1 d t = - 90 s 2 d x d t

O que prova nossa complementaridade, se um decresce outro decresce e vice-versa.

Porém:

s 2 = x 2 + 90 2

Logo:

d θ 2 d t = 90 x 2 + 90 2 d x d t

Fazendo x tender a zero temos:

d θ 2 d t = 90 90 2 d x d t = 1 90 d x d t

Como d x d t = - 15 f t s

d θ 2 d t = - 15 90 = - 1 6 r a d s                     ; d θ 1 d t = 1 6 r a d s

Resposta

  1. d s d t =   - 32 13   13   f t s
  2. d θ 1 d t = 8 65 r a d s                   ;         d θ 2 d t = - 8 65   r a d / s

c) d θ 2 d t = - 1 6 r a d s           ;           d θ 1 d t = 1 6 r a d s  

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