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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 70

  1. Fazendo os gráficos de

    2. y = e - x 10   e   y = 0,1

    na mesma tela, descubra quão grande você precisará tornar x para que e - x 10 < 0,1

  2. A parte (a) pode ser resolvida sem usar uma ferramenta gráfica?

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Na letra a, vamos fazer, numa mesma tela e com ajuda de algum recurso computacional, os gráficos de:

y = e - x 10

y = 0,1

E queremos descobrir qual vai ser o valor de x que satisfaz:

e - x 10 < 0,1

E pra isso vamos dar um super zoom no gráfico e ver quando que a linha da função e - x 10 passa a ficar abaixo da linha de 0,1 .

Já na letra b, vamos responder a pergunta mostrando que podemos resolver a inequação fazendo manipulações algébricas e achar para quais valores de x ela é verdadeira.

Passo 2

(a)

Esboçando y = e - x 10 (cor laranja) e y = 0,1 (cor roxa) na mesma tela:

Ao darmos zoom, vemos que o ponto de interseção entre os gráficos é

Repara que a linha laranja se encontra com a linha roxa em x = 23,0258509299405 , então pra valores maiores que esse x , temos a linha laranha abaixo da linha roxa.

Ou seja, para qualquer x > 23,0258509299405 , temos que e - x 10 < 0,1

Passo 3

(b)

Vamos resolver a inequação:

e - x 10 < 0,1

Como tem e podemos aplicar ln dos dois lados:

ln ⁡ e - x 10 < ln ⁡ 0,1

Fazendo as manipulações das propriedades de log:

- x 10 ln ⁡ e < ln ⁡ 0,1

Como ln ⁡ e = 1 , então:

- x 10 < ln ⁡ 0,1  

Resolvendo:

x > - 10 ⋅ ln ⁡ 0,1

x > - 10 ⋅ ln ⁡ 1 10

x > - 10 ⋅ ln ⁡ 10 - 1

x > - 10 ⋅ - 1 ln ⁡ 10

x > 10 ⋅ ln ⁡ 10

x > 23,02585092994

Então, como conseguimos resolver a inequação, Sim, tem como resolver se usar o gráfico.

Resposta

  1. x > 23,0258509299405
  2. Sim, x > 23,02585092994
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