Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.

f x = x 3 , no ponto de abscissa 8

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Nessa questão vamos ter que achar duas equações da reta.

Para reta tangente vamos usar a expressão,

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Já para a reta normal temos,

y - f x 0 = - 1 f ' x 0 x - x 0

O problema pede também a reta no ponto x 0 = 8 .

Então agora é derivar e substituir nas fórmulas.

Passo 2

Temos que a derivada de f é dada por:

f ' x = 1 3 x 2 3

Então, para x 0 = 8 :

f ' 8 = 1 3 8 2 3 = 1 3 ⋅ 2 2 = 1 12

Como a função no ponto onde a abscissa é 8 é dada por:

f 8 = 8 3 = 2

Passo 3

Para a reta tangente temos,

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Substituindo os valores, y - 2 = 1 12 x - 8

y = 1 12 x - 2 3 + 2

y = 1 12 x + 4 3

Passo 4

Para a reta normal, usamos a fórmula:

y - f x 0 = - 1 f ' x 0 x - x 0

Assim:

y - 2 = - 1 1 12 x - 8

y = - 12 x - 8 + 2

y = - 12 x + 98

Resposta

As retas tangente e normal são, respectivamente, y = 1 12 x + 4 3 e y = - 12 x + 98 .

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