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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.16 - Ex. 3

Sabe-se que r é uma reta tangente ao gráfico de f x = x 3 + 3 x e paralela à reta y = 6 x - 1 .

Determine r .

Passo 1

Como r é paralela à reta y = 6 x - 1 ,e sabemos que retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular, podemos afirmar que procuramos uma reta cujo coeficiente angular deve ser 6 .

Devemos lembrar que a reta tangente a uma curva em x 0 possui o coeficiente angular igual a derivada da função em x 0 , então:

f ' x 0 = 6

Se f x = x 3 + 3 x , sua derivada é:

f ' x = 3 x 2 + 3

Assim, para f ' x 0 = 6 , temos:

3 x 0 2 + 3 = 6

3 x 0 2 = 3

x 0 = ± 1

Passo 2

Como temos dois pontos de tangencia, possíveis, teremos duas retas.

Temos que que

f 1 = 1 3 + 3 1 = 4

f 1 = 4

E

f - 1 = - 1 3 + 3 - 1 = - 4

f - 1 = - 4

Podemos aplicar esses valores na fórmula da reta tangente, ou seja:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Para x 0 = 1 , temos: y - 4 = 6 x - 1

y = 6 x - 6 + 4

y = 6 x - 2

Para x 0 = - 1 , temos: y + 4 = 6 x + 1

y = 6 x + 6 - 4

y = 6 x + 2

Logo, a reta r pode ser a reta y = 6 x - 2 ou a reta y = 6 x + 2 .

Resposta

r pode ser a reta y = 6 x - 2 ou a reta y = 6 x + 2 .

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