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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 28

Seja f uma função contínua em 0 ,   1 e seja R a região triangular com vértices 0 ,   0 , 1 ,   0 e 0 ,   1 . Mostre que

∫ ∫ R f ( x + y ) d A = ∫ 0 1 u f u   d u

Passo 1

Pessoal, vamos usar a seguinte transformação:

u = x + y   ,     v = y

Assim, temos:

y = v   ,     x = u - y = u - v

E então podemos calcular o jacobiano da transformação:

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = 1 - 1 0 1 = 1

Passo 2

Agora observe que, seguindo a transformação, os novos vértices da região de integração vão ser:

0   ,   0 → 0 + 0 ,   0 = 0 ,   0

1 ,   0 → 1 + 0 ,   0 = 1 ,   0

0 ,   1 → 0 + 1 ,   1 = ( 1 ,   1 )

Então, considerando a nova região triangular de integração, com vértices 0 ,   0 , 1 ,   0 e 1 ,   1 , e todas as demais informações que obtivemos até aqui, podemos reescrever a integral nas novas variáveis:

∫ ∫ R f ( x + y ) d A = ∫ 0 1 ∫ 0 u f ( u ) 1   d v   d u

Passo 3

Finalmente, vamos desenvolver a integral dupla o máximo que pudermos, a fim de mostrarmos o resultado:

∫ ∫ R f ( x + y ) d A = ∫ 0 1 ∫ 0 u f ( u ) 1   d v   d u = ∫ 0 1 f u ∫ 0 u d v d u = ∫ 0 1 f u ( v 0 u )   d u = ∫ 0 1 u   f ( u ) d u

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine o jacobiano da transformação x = 5 u - v ,y = u + 3 v
Determine o jacobiano da transformação. x = u + 4 v , y = 3 u - 2 v
Determine o jacobiano da transformação. x = u 2 - v 2 , y = u 2 + v 2
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Mostre que a transformação φ do exercício anterior transforma o círculo u 2 + v 2 ≤ r 2 no círculo x 2 + y 2 ≤ 2 r 2 .