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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7m

m) int_0^1 (x^2)/((x + 1)^2) d x

Passo 1

Dando uma olhada na nossa integral, temos um termo no denominador e no denominador dois termos dentro de um parênteses que está sendo elevado ao quadrado. Talvez seja uma boa, substituir o termo do numerador e tentar resolver por substituição, certo?

u = x + 1 :. x = u - 1

Derivando,

d u = d x

Show de bolê! Agora nossa função ali dentro da integral vai ficar com essa cara aqui, ó:

int ((u - 1)^2)/(u^2) d u

Mas e os limites de integração... não podemos esquecer deles, precisamos arruma-los.

l i m i t e i n f e r i o r > x = 0 > u - 1 = 0 > u = 1

l i m i t e s u p e r i o r > x = 1 > u - 1 = 1 > u = 2

Agora, arrumando tudo na nossa integral definida!

int_1^2 ((u - 1)^2)/(u^2) d u

Passo 2

Agora, é resolver esse troço aí... vamos primeiro abrir esse quadrado do numerador:

int_1^2 ((u - 1)^2)/(u^2) d u = int_1^2 (u^2 - 2 u + 1)/(u^2) d u

Esse cara aí, fica mais legal quando separamos os termos e aplicamos aquela definição de integral marota...

int_1^2 ((u^2)/(u^2) - (2 u)/(u^2) + (1)/(u^2)) d u = int_1^2 (u^2)/(u^2) d u - 2 int_1^2 (u)/(u^2) d u + int_1^2 (1)/(u^2) d u

E pra fechar, a gente corta alguns termos

int_1^2 d u - 2 int_1^2 (1)/(u) d u + int_1^2 (1)/(u^2) d u

Passo 3

Agora é só terminar!

u |_1^2 - 2 ln (u) |_1^2 - ((1)/(u)) |_1^2

(2 - 1) - 2 [ln (2) - ln (1)] - ((1)/(2) - 1)

1 - 2 ln (2) - (- (1)/(2))

1 - 2 ln (2) + (1)/(2)

Prontinho

Resposta

1 - 2 ln (2) + (1)/(2)

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