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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7e

e) int_(- 1)^0 x^2 e^(x^3) d x

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável. Nesse caso é interessante pegar x^3 porque quando você derivar fica 3 x^2 d x e esse x^2 d x tá lá esperando.

u = x^3 ( * )

Derivando,

d u = 3 x^2 d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = - 1 -> u = - 1^3 = - 1 x = 0 -> u = 0^3 = 0

Repara que quando derivamos apareceu que d u = 3 x^2 d x que é basicamente (d u)/(3) = x^2 d x

Nossa integral era:

int_(- 1)^0 x^2 e^(x^3) d x = int_(- 1)^0 e^(x^3) x^2 d x

Mudando pra u :

int_(- 1)^0 e^u (d u)/(3) = (1)/(3) * int_(- 1)^0 e^u d u

Repare que os limites ficaram iguais, mas foi só coincidência em!

Não esquece: int e^x d x = e^x + C

Passo 3

Agora é só terminar!

(1)/(3) * int_(- 1)^0 e^u d u = (1)/(3) * e^u (​|_(- 1)^0 = (1)/(3) * (e^0 - e^(- 1)) = (e - 1)/(3 e)

Resposta

(e - 1)/(3 e)

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