Trace um diagrama para mostrar que há duas retas tangentes à parábola y = x 2 que passam pelo ponto 0 , - 4 . Encontre as coordenadas dos pontos onde essas retas tangentes interceptam a parábola.

Enunciado

E aí, pessoal! 😁

Queremos encontrar o ponto de interseção de cada reta tangente com a parábola dada por

sendo que cada uma dessas duas retas tangentes passa pelo ponto .

Parece complicado? 👀

Derivando a função obtemos a expressão para o coeficiente angular das retas tangentes, assim:

em que é o ponto de interseção.

Veja só! 😇

Derivando pela regra da potência para obter , temos

Fazendo primeiramente um esboço, nos ajudará a visualizar a situação:

Tranquilo até aqui? 😉

Pelo esboço, percebe-se que a ordenada do ponto de interseção será a mesma para as duas retas tangentes e as abscissas serão simétricas e .

A equação de uma reta tangente que passa por é dada por:

A interseção dessa reta com a parábola é o ponto como vemos pelo gráfico.

Então, fazendo a interseção da parábola com uma das retas tangentes temos a seguinte equação para resolver em :

Como o ponto pertence tanto à tangente como à parábola, então podemos substituir esse ponto na equação, assim:

Logo, temos que

E os possíveis pontos de interseção são e

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😬