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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 21

A força F agindo num corpo com massa m e velocidade v   é a taxa de variação de momentum: F = ( d / d t ) ( m v ) . Se m for uma constante, torna-se F = m a , onde a = d v / d t é a aceleração. Mas na teoria da relatividade a massa de uma partícula varia com da seguinte forma: m = m 0 / 1 - v 2 / c ² , onde m 0 é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz. Mostre que

F = m 0 a ( 1 - v 2 / c ² ) 3 / 2

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... a questão quer que a gente demonstre a seguinte fórmula:

F = m 0 a ( 1 - v 2 / c ² ) 3 / 2

Onde F é a força que atua em um corpo dada por

F = d d t m v

m 0 é a massa da partícula em repouso, c é a velocidade da luz e a é a aceleração.

Além disso, temos que a massa m da partícula varia conforme a seguinte expressão:

m = m 0 1 - v 2 c 2

E aí?? Por onde a gente começa??

Bom... Como na teoria da realtividade m = m 0 / 1 - v 2 / c ² , iremos substitui-lo em F = d   ( m v ) d t , lembrando que v é uma função do tempo, desta forma d v d t = a .

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Substituindo o valor de m em F :

F = d d t m 0 v 1 - v 2 / c ²

Neste caso m 0 é constantete, então sai da derivada.

F pode ser reescrito da seguinte forma:

F = m 0 d d t v ∙ 1 - v ² c ² - 1 / 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Bom... a gente sabe que a velocidade v varia com o tempo t .

Assim, podemos calcular a derivada de F , utilizando a regra do produto e a regra da cadeia:

A regra da cadeia é aplicada quando temos que derivar uma função composta e é dada por

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Já a regra do produto é dada por

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Aplicando essas regras em F , temos

F = m 0 1 - v ² c ² - 1 / 2 ∙ d v d t +   m 0 v ∙ - 1 2 1 - v 2 c 2 - 3 2 - 2 v c 2 ∙ d v d t

A gente sabe também que d v d t é a aceleração a . Assim, temos:

F = m 0 1 - v ² c ² - 1 / 2 ∙ a +   m 0 v 2 c 2 ∙ 1 - v 2 c 2 - 3 2 ∙ a ∴

F = m 0 ∙ a 1 - v 2 c 2 - 3 2 ( 1 - v 2 c 2 ) - 1 / 2 ( 1 - v 2 c 2 ) - 3 / 2 + v ² c ² ∴

Simplificando a equação...

F = m 0 ∙ a 1 - v 2 c 2 - 3 2 1 - v 2 c 2 + v 2 c 2 ∴

F = m 0 a ( 1 - v 2 / c ² ) 3 / 2

Entendeu direitinho?? Responde Aí! 😉

Resposta

F = m 0 a ( 1 - v 2 / c ² ) 3 / 2

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