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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 26

Maximizando um produto Encontre o maior produto que

os números positivos x, y e z podem ter se x + y + z2 = 16.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você sabe qual é o maior produto positivo que a multiplicação f ( x , y , z ) = x y z pode ter se x + y + z 2 = 16 ? Acompanhe a resolução do exercício!

Passo 2

Para as funções:

f ( x , y , z ) = x y z g ( x , y , z ) = x + y + z 2 - 16 = 0

Vamos calcular os gradientes para a aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange.Assim:

∇ f = y z i + x z j + x y k ∇ g = i + j + 2 z k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, teremos:

∇ f = λ ∇ g y z i + x z j + x y k = λ ( i + j + 2 z k )

Agora, vamos separar as componentes, temos que:

y z = λ x z = λ x y = 2 z λ

Aqui, podemos observar que y z = x z . Assim:

z = 0  ou  y = x . 

Entretanto, z > 0 (enunciado). Assim temos que y = x . Substituindo em x y = 2 z λ encontraremos:

x 2 = 2 z λ x z = λ x 2 = 2 z ( x z )

Passo 3

Levando à conclusão que x = 0 ou x = 2 z 2 . Entretanto x > 0 , logo x = 2 z 2 .Se x = 2 z 2 e y = x , então y = 2 z 2 .Substituindo em x + y + z 2 = 16 temos então:

2 z 2 + 2 z 2 + z 2 = 16 z = 4 5 ,  pois  z > 0 .

Passo 4

Encontramos também que x = 32 5 , y = 32 5 Portanto, o maior produto é f 32 5 , 32 5 , 4 5 = 4096 25 5 .

Resposta

Resposta nos passos.

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