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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 40

Produtos de funções escalares e vetoriais Suponha que a função escalar u(t) e a função vetorial r(t) sejam ambas definidas para a ≤ t ≤ b .

a. Mostre que ur é contínua em [a, b] se u e r forem contínuas em [a, b].

b. Se u e r forem ambos diferenciáveis em [a, b], mostre que ur é diferenciável em [a, b] e que

d d t u r = u d r d t + r d u d t

Passo 1

Fala minha galera querida!! Força, bora para mais um.

Sabendo que r t = f t i + g t j + h t k , vamos começar.

  1. Vamos tomar u e r como funções contínuas em [a,b].

    2. Podemos escrever então que

    u t r t = lim t → t 0 ⁡ u t f t i + u t g t j + u t h t k

    u t 0 f t 0 i + u t 0 g t 0 j + u t 0 h t 0 k = u t 0 r ( t 0 )

    Então, podemos concluir que ur é contínua para t 0 em [a,b].

    Passo 2

  2. Vamos tomar u e r como funções diferenciáveis.

Podemos escrever então que,

d d t u r = d d t u t f t i + u t g t j + u t h t k

Pela regra do produto,

= d u d t f t + u t d f d t i + d u d t g t + u t d g d t j + d u d t h t + u t d h d t k

= f t i + g t j + h t k d u d t + u t d f d t i + d g d t j + d h d t k

= r d u d t + u d r d t

Bora pro próximo!

Resposta

Demonstração.

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