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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 42

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente

42. ∑ n = 1 ∞ x - 1 2 n - 2 2 n - 1 !

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar a série da seguinte forma

∑ n = 1 ∞ u n = .   ∑ n = 1 ∞ x - 1 2 n - 2 2 n - 1 !

Aplicando o teste da razão para a série ∑ n = 1 ∞ u n , onde u n é o n-ésimo termo da série dada,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ x - 1 2 n 2 n + 1 ! 2 n - 1 ! x - 1 2 n - 2

Desenvolvendo os termos

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ x - 1 2 2 n - 1 ! 2 n + 1 2 n 2 n - 1 ! = x - 1 2 lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 2 n

O limite lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 2 n é igual a 0, com isso

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x - 1 2 ∙ 0 = 0 < 1 ,     p a r a   t o d o   x ∈ R

Passo 2

Portanto a série converge absolutamente para todo x . Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência é ∞ . Portanto do acima obtemos O raio de convergência é ∞ e as convergências da série para todo x. A série converge absolutamente para todo x. Não há valor de x para o qual a série converge condicionalmente.

Resposta

A - R = ∞

B - C o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e   p a r a   t o d o   x

C - N ã o   h á   v a l o r   d e   x   p a r a   o   q u a l   a   s é r i e   c o n v e r g e   c o n d i c i o n a l m e n t e

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