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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 67

Nos Exercícios 65-68, encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor gerada por f em x = a .

67. f x = 1 ( x + 1 )   e m   x = 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a função é f x = 1 ( x + 1 ) ​. A série de Taylor para a função f ( x ) em x = 3 é dada por

f x = f 3 + f ' ( 3 ) x - 3 + f ' ' 3 2 ! x - 3 2 + f ' ' ' 3 3 ! x - 3 3 + …

Agora, nós temos que encontrar f 3 ,   f ' 3 ,   f ' ' ( 3 ) e f ' ' ' ( 3 ) .

Passo 2

Diferenciando f ( x ) três vezes, de forma sucessiva, nós temos que

f x = 1 1 + x = 1 + x - 1

f ' x = - 1 + x - 2

f ' ' x = 2 1 + x - 3

f ' ' ' x = - 6 1 + x - 4

Agora, substituindo o x por 3

f 3 = 1 4

f ' 3 = - 1 4 2

f ' ' 3 = 2 4 3

f ' ' ' 3 = - 6 4 4

Passo 3

Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por f em x = 3 são

f x = 1 1 + x = f 3 + f ' 3 x - 3 + f ' ' 3 2 ! x - 3 2 + f ' ' ' 3 3 ! x - 3 3 + …

Com isso, nós temos que

f x = 1 1 + x = 1 - 1 4 2 x - 3 + 1 4 3 x - 3 2 - 1 4 4 x - 3 3 + …

Resposta

1 1 + x = 1 - 1 4 2 x - 3 + 1 4 3 x - 3 2 - 1 4 4 x - 3 3 + …

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