Enunciado

Formule precisamente a definição de lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞ . Então, use sua definição para demonstrar que lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞

Passo 1

E aí pessoal??

Queremos demonstrar que:

lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞

Mas já que a gente precisa fazer essa demonstração usando a definição de limite, vamos relembrar dessa definição:

Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Agora aplicando isso na nossa expressão:

lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞

se 0 < x - ( - ∞ ) < δ então 1 - x 3 - ( - ∞ ) < ε

Calma, não se assusta com isso! Você vai ver que na verdade é bem simples!

A estratégia é a seguinte, vamos sempre partir da inequação onde aparece o ε , e vamos mexer nela até aparecer algo parecido com

0 < x - a < δ

Assim vamos definir um δ > 0 que atenda essas condições!

Passo 2

Agora, usaremos a definição para provar que lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞ .

Dado um numero negativo M , precisamos de um número negativo N de tal modo que x < N .

Então,

f x < ε

1 + x 3 < ε

x < ε - 1 3

Assim, tomamos que

δ = ε - 1 3

Então,

x < δ  

1 + x 3 < ε

E isso prova que

lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 14, ache o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados. 7 )lim x → 3 ⁡ 4 x - 5 5 x - 1
Nos exercícios de 1 a 14, ache o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados. 8 )lim x → 2 ⁡ 3 x + 4 8 x - 1
Nos exercícios de2 1 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados. 2 3 )lim x → - 3 2 ⁡ 4 x 2 - 9 2 x + 3
Nos exercícios de 1 a 14, ache o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados. 6 )lim y → - 1 ⁡ y ³ - 2 y ² + 3 y - 4 ³ ²
Nos exercícios de 15 a 20, faça o seguinte:Use uma calculadora para tabular, até quatro casas decimais, os valores de f ( x ) para os valores fixados de x . Do que f ( x ) parece tender quando x se ap