Formule precisamente a definição de lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - ∞ . Então, use sua definição para demonstrar que lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞

Passo 1

E aí pessoal??

Queremos demonstrar que:

lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞

Mas já que a gente precisa fazer essa demonstração usando a definição de limite, vamos relembrar dessa definição:

Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Agora aplicando isso na nossa expressão:

lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞

se 0 < x - ( - ∞ ) < δ então 1 - x 3 - ( - ∞ ) < ε

Calma, não se assusta com isso! Você vai ver que na verdade é bem simples!

A estratégia é a seguinte, vamos sempre partir da inequação onde aparece o ε , e vamos mexer nela até aparecer algo parecido com

0 < x - a < δ

Assim vamos definir um δ > 0 que atenda essas condições!

Passo 2

Agora, usaremos a definição para provar que lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞ .

Dado um numero negativo M , precisamos de um número negativo N de tal modo que x < N .

Então,

f x < ε

1 + x 3 < ε

x < ε - 1 3

Assim, tomamos que

δ = ε - 1 3

Então,

x < δ  

1 + x 3 < ε

E isso prova que

lim x → - ∞ ⁡ ( 1 + x 3 ) = - ∞

Resposta

Demonstração.

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