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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 21

Mostre que a área da parte do plano z = a x + b y + c que projeta sobre uma região D no plano x y com área A ( D ) é a 2 + b 2 + 1 A ( D )

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

Nossa f x , y é definida como

f x , y = z = a x + b y + c

Assim temos que

∂ z ∂ x = a

e

∂ z ∂ y = b

Usando coordenadas cilindrícas podemos escrever

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + a 2 + b 2

A ( S ) = ∫ ∫ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y   = ∫ ∫ 1 + a 2 + b 2   d x   d y

= 1 + a 2 + b 2   ∫ ∫ d x   d y = 1 + a 2 + b 2 A ( D )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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