Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f(x) = x / (9 + x^2)

Passo 1

E aí meu povo, tudo bem com vocês?

Vamos dar início então!

Vamos entender o enunciado juntos? O problema nos forneceu uma função f ( x ) e pediu a sua representação em série de potências, e também que calculemos o raio de convergência associado.

Como podemos iniciar? Pense comigo, ele pediu a série...vamos olhar para a função e ver se tem alguma semelhança com alguma série conhecida. E aí? Concorda que lembra um pouco a soma de um serie geométrica infinita?

S = a 0 1 - r

S = ∑ n = 0 ∞ a 0 r n

Assim, nosso objetivo é organizar a função e tentar escrever como uma série. Por fim, avaliarmos a convergência de uma série, sabendo que o módulo da razão r tem que ser menor que 1 para convergir.

Vamos começar!?

Passo 2

Beleza, pessoal?

Que tal reescrever a função assim:

f x = x 9 - - x 2 = x 9 1 - - x 2 9

Veja a semelhança com a soma da série geométrica:

S = a 0 1 - r

Repare que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo a 0 = x 9 e razão r = - x 2 9   , ou seja:

f x = x 9 - 1 81 x 3 + 1 729 x 5 + …

E isso nos dá exatamente a série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ x 9 - x 2 9 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 9 n + 1 x 2 n + 1

Passo 3

Coisa linda essa resolução ein!!

Agora podemos relacionar a razão com a convergência. Vamos lá!?

Sabendo que uma série geométrica converge para

r < 1

Beleza! Como a razão da série geométrica é r = - x 2 9   , temos que ter, pra série convergir:

- x 2 9 < 1

x 2 9 < 1

x 2 < 9

- 3 < x < 3

Ou seja, o intervalo de convergência é - 3 ,   3 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 9 n + 1 x 2 n + 1

( - 3 ,   3 )

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