Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 7
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
E aí meu povo, tudo bem com vocês?
Vamos dar início então!
Vamos entender o enunciado juntos? O problema nos forneceu uma função e pediu a sua representação em série de potências, e também que calculemos o raio de convergência associado.
Como podemos iniciar? Pense comigo, ele pediu a série...vamos olhar para a função e ver se tem alguma semelhança com alguma série conhecida. E aí? Concorda que lembra um pouco a soma de um serie geométrica infinita?
Assim, nosso objetivo é organizar a função e tentar escrever como uma série. Por fim, avaliarmos a convergência de uma série, sabendo que o módulo da razão tem que ser menor que para convergir.
Vamos começar!?
Passo 2
Beleza, pessoal?
Que tal reescrever a função assim:
Veja a semelhança com a soma da série geométrica:
Repare que a expressão da função agora pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo e razão , ou seja:
E isso nos dá exatamente a série de potências:
Passo 3
Coisa linda essa resolução ein!!
Agora podemos relacionar a razão com a convergência. Vamos lá!?
Sabendo que uma série geométrica converge para
Beleza! Como a razão da série geométrica é , temos que ter, pra série convergir:
Ou seja, o intervalo de convergência é .