Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 2
Prove que a equação admite uma única raiz real. Determine um intervalo de amplitude que contenha tal raiz.
Passo 1
Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu a função e pediu pra gente provar que ela admite apenas uma raiz real. Isso quer dizer que teremos apenas um valor de que satisfaça a equação .
Para mostrar que essa equação tem pelo menos uma raiz real, vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Como a nossa é uma função polinomial, ela é contínua para todos os valores de reais.
Repare também que quando , nossa função vai tender a e quando , nossa função vai para . Essa mudança de sinal já indica que existe pelo menos uma raiz real.
Agora para mostrar que existe apenas uma raiz real, vamos precisar calcular os pontos críticos da função, usando a derivada, e estudar o sinal da função , verificando sua concavidade por meio da segunda derivada. Assim, vamos encontrar o intervalo de amplitude que contém essa raiz e provar o que é pedido.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da nossa função usando a regra de derivação da constante () e a regrinha da potência (). Assim, temos:
Agora vamos igualar esse resultado a zero para encontrar os pontos críticos da função:
Assim, temos:
ou
Então, e são pontos críticos da função. Agora, vamos usar o teste da derivada segunda (o teste da concavidade) para determinar se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de inflexão.
Passo 3
Derivando novamente , obtemos a segunda derivada de :
Avaliando a segunda derivada nos pontos e , vamos ter:
Para :
Para :
Logo, , o que nos indica que tem concavidade negativa e é um ponto de máximo local. E para , temos que tem concavidade positiva, com sendo um ponto de mínimo local.
Como existe essa mudança de concavidade na função, significa que ela passa pelo eixo no intervalo e, portanto, tem uma raiz real nesse intervalo.
Mais formalmente, temos que pelo Teorema do Valor Intermediário que se é contínua sobre o intervalo fechado e é um número real tal que ou então existe pelo menos um ponto em tal que .Como vimos, a função é negativa no intervalo , cruza o eixo em , passando por um máximo positivo em , e passa por um mínimo positivo em , continuando positiva no intervalo .Como cruza o eixo apenas uma vez, tem somente uma raiz real. Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉