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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 3

Prove que a equação x 3 + x 2 - 5 x + 1 = 0 admite três raízes reais distintas. Localize tais raízes.

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos então aplicar:

x 3 + x 2 - 5 x + 1 ' = 3 x 3 - 1 + 2 x 2 - 1 - 5 x 1 - 1 + 0 = 3 x 2 + 2 x - 5

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x igualando a zero:

3 x 2 + 2 x - 5 = 0 ↔ 3 x - 1 x + 5 3 = 0

Temos que pelo Teorema do Valor Intermediário que se f é contínua sobre o intervalo fechado a , b e L é um número real tal que f a < L < f b ou f b < L < f a então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que f c = L .

Nesses pontos f muda de sentido, temos então que:

f 0 = 0 3 + 0 2 - 5 ⋅ 0 + 1 = 1

f 1 = 1 3 + 1 2 - 5 ⋅ 1 + 1 = 3 - 5 = - 2

Como muda de sentido sabemos que tem uma raiz entre 0 ,   1 .

f 2 = 2 3 + 2 2 - 5 ⋅ 2 + 1 = 8 + 4 - 10 + 1 = 3 A s s i m ,   s a b e m o s   q u e   h á   u m a   r a i z   e n t r e   1 ,   2 .

f - 2 = - 2 3 + - 2 2 - 5 ⋅ - 2 + 1 = - 8 + 4 + 10 + 1 = 7

f - 3 = - 3 3 + - 3 2 - 5 ⋅ - 3 + 1 = - 27 + 9 + 15 + 1 = - 2 A s s i m ,   h á   u m a   r a i z   e n t r e - 3 ,   - 2 .

Resposta

Nos intervalos 0 ,   1 , 1 ,   2 e - 3 ,   - 2

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41. Prove o Teorema 4.4.3 (ii)
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