Enunciado

Uma função f é dita homogênea de grau n se satisfaz a equação f t x , t y = t n f ( x , y ) para todo valor de t , onde n é o número inteiro e positivo e f tem as segundas derivadas parciais contínuas.

  1. Verifique que f x , y = x 2 y + 2 x y 2 + 5 y 3 é homogênea de grau 3 .
  2. Mostre que, se f é homogênea de grau n , então

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = n f ( x , y )

[Sugestão: Utilize a Regra da Cadeia para derivar f ( t x , t y ) com relação a t .]

Passo 1

(a) Para verificar que a função f é homogênea, vamos aplicar ( t x , t y ) no argumento da função

f t x , t y = t x 2 t y + 2 t x t y 2 + 5 t y 3

f t x , t y = t 3 x 2 y + 2 t 3 x y 2 + 5 t 3 y 3

Colocando t 3 em evidencia

f t x , t y = t 3 ( x 2 y + 2 x y 2 + 5 y 3 )

O que está entre parênteses é f ( x , y ) , então

f t x , t y = t 3 f ( x , y )

Então chegamos em uma expressão da forma f t x , t y = t n f ( x , y ) , onde n = 3 , o que indica que a função f é homogênea de grau 3 .

Passo 2

(b) Vamos partir da igualdade

f t x , t y = t n f ( x , y )

Vamos derivar parcialmente os dois lados em relação a t , olhando primeiramente para o lado direito

∂ ∂ t t n f x , y = n t n - 1 f x , y

Olhando agora para o outro lado

∂ ∂ t f t x , t y

Vamos usar a substituição u = t x e v = t y

∂ ∂ t f t x , t y = ∂ ∂ t f u , v

= ∂ f ∂ u ∂ u ∂ t + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ t = ∂ f ∂ u x + ∂ f ∂ v y

= ∂ f ∂ ( t x ) x + ∂ f ∂ ( t y ) y

Voltando a igualdade

f t x , t y = t n f ( x , y )

∂ ∂ t f t x , t y = ∂ ∂ t t n f x , y

∂ f ∂ ( t x ) x + ∂ f ∂ ( t y ) y = n t n - 1 f x , y

Como f é homogênea, a igualdade tem que valer para qualquer valor de t , então usando t = 1

∂ f ∂ x x + ∂ f ∂ y y = n f x , y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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