Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 55
Uma função é dita homogênea de grau se satisfaz a equação para todo valor de , onde é o número inteiro e positivo e tem as segundas derivadas parciais contínuas.
- Verifique que é homogênea de grau .
- Mostre que, se é homogênea de grau , então
[Sugestão: Utilize a Regra da Cadeia para derivar com relação a .]
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar teorema com regra da cadeia, vamos lá!
A questão nos apresenta um conceito de função homogênea e nos pede primeiro para verificar esse conceito em
Mas como fazemos isso? Simples, só precisamos adaptar nossa função ao formato da função homogênea
E testar se a igualdade é verdadeira!
Depois temos que provar a seguinte expressão
Para uma função genérica, homogênea e de grau . Para isso, podemos manipular a equação da função homogênea (como se fosse a nossa função) até chegarmos na igualdade proposta!
Passo 2
Para verificar que a função é homogênea, vamos aplicar no argumento da função
Colocando em evidencia
Observe que o termo entre parênteses é exatamente ! Então
Como chegamos em uma expressão da forma , onde , provamos que a função é homogênea e de grau .
Passo 3
Para chegarmos na expressão proposta vamos partir da equação da função homogênea
Derivando parcialmente os dois lados em relação a
Para o lado esquerdo da igualdade:
Buscamos
Se definirmos
Então temos
De forma que agora podemos utilizar a regra da cadeia para encontrar essa derivada!
Aplicando a regra da cadeia para a nossa função, ficamos com
Mas veja que
De forma que
Substituindo e de volta
Para o lado direito da igualdade (como estamos derivando em , as variáveis e são consideradas constantes):
De forma que, pela igualdade da expressão inicial
Como é homogênea, a igualdade tem que valer para qualquer valor de , então usando
Exatamente a expressão que o enunciado propõe!
Resposta
(a) é homogênea de grau
(b) A igualdade
É valida!