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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 53

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , mostre que

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar teorema com regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos diz que há uma função do tipo z = f ( x ,   y ) onde x = x ( r , θ ) e y = y ( r , θ ) e pede para que provemos o seguinte:

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r

Certo, mas como fazemos isso sem nem ter a função z definida?

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções múltiplas variáveis:

Para uma função no formato z ( x , y ) onde x = x ( r , θ ) e y = y ( r , θ ) , a derivada d z / d r pode ser definida como:

∂ z ∂ r =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r

E a derivada d z / d θ pode ser definida como:

∂ z ∂ θ =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ

Nós não podemos calcular ∂ z / ∂ x ou ∂ z / ∂ y mas veja que esses termos aparecem nessas fórmulas! Então vamos substituir ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ na expressão da questão e ver o que podemos fazer!

Passo 2

Vamos começar definindo as derivadas de x e y nas variáveis s e t !

Seja

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Então vamos ter

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ

∂ y ∂ r = sen ⁡ θ

∂ x ∂ θ = - r sen ⁡ θ

∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ

Observe que as derivadas da equação do enunciado são de segunda ordem, então vamos precisar derivar novamente as expressões que definimos no passo 1!

Assim, buscamos

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ ∂ r ∂ z ∂ r

Onde, ao aplicar a regra da cadeia novamente, temos

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ ∂ x ∂ z ∂ r ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ ∂ y ∂ z ∂ r ⋅ ∂ y ∂ r

Substituindo ∂ z / ∂ r que foi definido no passo 1

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ ∂ x ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ ∂ y ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r ⋅ ∂ y ∂ r

Expandindo (ainda mais) esses termos, nós ficamos com

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ ∂ x ∂ r 2 + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r ∂ x ∂ r + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r ∂ y ∂ r + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ ∂ y ∂ r 2

Substituindo ∂ x ∂ r e ∂ y ∂ r nós ficamos com

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ cos ⁡ θ 2 + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ⋅ sen ⁡ θ cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ cos ⁡ θ sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ sen ⁡ θ 2

O enunciado nos diz que as derivadas de segunda ordem são contínuas, então pelo teorema de Clairaut temos que as derivadas cruzadas ∂ x ∂ y e ∂ y ∂ x são iguais, de forma que:

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ⋅ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ

Agora vamos fazer o mesmo processo para a derivada de segunda ordem em θ

Passo 3

Agora buscamos

∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ ∂ θ ∂ z ∂ θ

Substituindo ∂ z / ∂ θ que foi definido no passo 1

∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ ∂ θ ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ

Como ∂ x ∂ θ e ∂ y ∂ θ são funções que dependem de θ elas vão influenciar na derivada, de modo que substituindo ∂ x ∂ θ e ∂ y ∂ θ nós ficamos com

∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ ∂ θ - ∂ z ∂ x ⋅ r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y ⋅ r cos ⁡ θ

∂ 2 z ∂ θ 2 = - ∂ ∂ θ ∂ z ∂ x ⋅ r sen ⁡ θ + ∂ ∂ θ ∂ z ∂ y ⋅ r cos ⁡ θ

Utilizando a regra do produto

∂ 2 z ∂ θ 2 = - ∂ 2 z ∂ θ ∂ x r sen ⁡ θ - ∂ z ∂ x ∂ ∂ θ r sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ θ ∂ y r cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y ∂ ∂ θ r cos ⁡ θ

Resolvendo as derivadas parciais das funções seno e cosseno ficamos com

∂ 2 z ∂ θ 2 = - ∂ 2 z ∂ θ ∂ x r sen ⁡ θ - ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ θ ∂ y r cos ⁡ θ - ∂ z ∂ y r sen ⁡ θ

Ou ainda

∂ 2 z ∂ θ 2 = - ∂ 2 z ∂ θ ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ θ ∂ y r cos ⁡ θ - r ∂ z ∂ y sen ⁡ θ + ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ

Usando a regra da cadeia para calcular as derivadas de segunda ordem, nós temos que

∂ 2 z ∂ θ ∂ x = ∂ ∂ θ ∂ z ∂ x

∂ ∂ θ ∂ z ∂ x = ∂ ∂ x ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ��� ∂ y ∂ z ∂ x ⋅ ∂ y ∂ θ

Substituindo ∂ x ∂ θ e ∂ y ∂ θ

∂ ∂ θ ∂ z ∂ x = - ∂ ² z ∂ x ² ⋅ r sen ⁡ θ + ∂ ² z ∂ y ∂ x ⋅ r cos ⁡ θ

Da mesma forma

∂ 2 z ∂ θ ∂ y = ∂ ∂ θ ∂ z ∂ y

∂ ∂ θ ∂ z ∂ y = ∂ ∂ x ∂ z �� y ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ ∂ y ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ

Substituindo ∂ x ∂ θ e ∂ y ∂ θ

∂ ∂ θ ∂ z ∂ y = - ∂ ² z ∂ x ∂ y ⋅ r sen ⁡ θ + ∂ ² z ∂ y ² ⋅ r cos ⁡ θ

Substituindo de volta em ∂ 2 z ∂ θ 2

∂ 2 z ∂ θ 2 = - - ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ r sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ r cos ⁡ θ r sen ⁡ θ

+ - ∂ 2 z ∂ x ∂ y ⋅ r sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ r cos ⁡ θ r cos ⁡ θ - r ∂ z ∂ y sen ⁡ θ + ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ

Expandindo essa expressão

∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ r ² sen 2 ⁡ θ - ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ r ² cos ⁡ θ sen ⁡ θ - ∂ 2 z ∂ x ∂ y ⋅ r ² sen ⁡ θ cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ r ² cos ² ⁡ θ

- r ∂ z ∂ y sen ⁡ θ + ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ

Simplificando, ficamos com

∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ r ² sen 2 ⁡ θ - 2 ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ r ² cos ⁡ θ sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ r ² cos ² ⁡ θ - r ∂ z ∂ y sen ⁡ θ + ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ

Passo 4

Veja que lá na equação proposta no enunciado esse termo inteiro que acabamos de encontrar está dividido por r ² , então já vamos fazer isso!

1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ - 2 ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ cos ⁡ θ sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ - 1 r ∂ z ∂ y sen ⁡ θ + ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ

Aproveitando, já podemos encontrar 1 r ∂ z ∂ r também

1 r ∂ z ∂ r = 1 r ∂ z ∂ x ⋅ cos ⁡ θ + 1 r ∂ z ∂ y ⋅ sen ⁡ θ

Agora vamos substituir tudo lá na expressão do enunciado (finalmente)

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r

Resolvendo o lado esquerdo ficamos com

∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r = ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ⋅ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ

+ ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ - 2 ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ cos ⁡ θ sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ - 1 r ∂ z ∂ y sen ⁡ θ + ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ

+ 1 r ∂ z ∂ x ⋅ cos ⁡ θ + 1 r ∂ z ∂ y ⋅ sen ⁡ θ

Veja que alguns termos se cancelam! Ficando “só”:

∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r = ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ sen ⁡ θ 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ

Reagrupando, temos

∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r = ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ) + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ )

Utilizando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 , ficamos exatamente com a equação proposta no enunciado! (Finalmente)

∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r = ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2

Resposta

A igualdade ∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r = ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2

É válida!

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