Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 58
Suponha que a equação defina implicitamente cada uma das três variáveis e como função das outras duas: , e . Se for diferenciável e , e forem todas não nulas, mostre que
Passo 1
Fala ai pessoal! De boa?
A questão pede para mostrar que o produto das derivadas parciais é igual a ,
considerando que as variáveis , , e estão implicitamente relacionadas pela equação .
Isso significa que:
- é uma função de e ,
- é uma função de e ,
- é uma função de e ,
todas deriváveis em relação a .
Essa questão é sobre demonstração, Então vamos começar! 😊
Passo 2
Po galera, vamos lá! Do nosso enunciado, temos que:
Po, se eu pegar esse e esse e substituir na expressão de , vamos ter que:
Ou seja:
Portanto, podemos reescrever nossa equação para:
Passo 3
Pela regra da cadeia, derivando em relação a , temos:
Como não é uma função de e como , simplificamos para:
E logo, isolando :
Mas como , isso é o mesmo que dizer:
Nos próximos passos vamos manter essa ideia, ok? Bora lá!
Passo 4
Show de bola, vamos lá! Se temos:
Podemos considerar então que:
E portanto:
Nossa equação se torna:
Passo 5
Pela regra da cadeia, derivando em relação a , temos:
Como não é uma função de e como , simplificamos para:
Voltando pras variáveis originais:
Passo 6
Ultima vez agora que iremos derivar usando regra da cadeia! Se temos:
Podemos considerar então que:
E portanto:
Nossa equação se torna:
Passo 7
Pela regra da cadeia, derivando em relação a , temos:
Como não é uma função de e como , simplificamos para:
Isolando
Voltando pras variáveis originais:
Passo 8
Agora a gente fecha com chave de ouro reunindo todos os resultados dos outros passos:
Multiplicando eles todos:
Ta provado!
Resposta
Demonstração