Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f(x, y, z, t) = (x * y^2) / (t + 2z)

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de uma função f .

Como a função f tem quatro variáveis, teremos quatro derivadas parciais de primeira ordem: f x , f y , f z e f t !

E como encontro essas derivadas? É bem simples! Nós só precisamos tratar as variáveis que não estão envolvidas na derivação como valores constantes!

Passo 2

Seja a função

f x , y , z , t = x y ² t + 2 z

Para encontrar f x , vamos derivar em x considerando y , z e t como constantes.

De forma que:

∂ w ∂ x = y ² t + 2 z ⋅ d   x d x

f x =   y 2 t + 2 z

Da mesma forma, para encontrar f y , vamos derivar em y considerando x , z e t como constantes.

De forma que:

∂ w ∂ y = x t + 2 z ⋅ d y 2 d y

f y =   2 x y t + 2 z

Passo 3

Continuando, para encontrar f z , vamos derivar em z considerando x , y e t como constantes.

De forma que:

∂ w ∂ z = x y 2 d ( t + 2 z ) - 1 d z

Observe que podemos encontrar o resultado dessa derivada usando a regra da cadeia!

Relembrando:

A regra da cadeia nos diz que para uma função

w = f g ( x )

A sua derivada é dada por

d w d x = d f u d u ⋅ d g x d x  

Dessa forma

d ( t + 2 z ) - 1 d z = d u - 1 d u ⋅ d   t + 2 z d z

De forma que:

f z = - 2 x y ² ( t + 2 z ) ²

E, finalmente, para encontrar f t , vamos derivar em t considerando x , y e z como constantes.

De forma que:

∂ w ∂ t = x y 2 d ( t + 2 z ) - 1 d t

E, usando a regra da cadeia novamente, temos por fim

f t = - x y 2 t + 2 z 2

Resposta

f x =   y 2 t + 2 z

f y = 2 x y t + 2 z

f z =   - 2 . x y ² ( t + 2 z ) ²

f t = - x y 2 t + 2 z 2

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Calcular o jacobiano ∂(x, y) / ∂(u, v) para:a) x = u * cos(v), y = u * sen(v)
Calcular o jacobiano ∂(x, y) / ∂(u, v) para:c) x = u^2 + v^2, y = u * v
As equações 2u + v - x - y = 0 e xy + uv = 1 determinam u e v como funções de x e y . Determinar ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y .
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