Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 39

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

u = x ² 1 + x ² 2 + x ² 3 + … + x ² n

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Ou seja: Para achar a derivada parcial em x 1 a gente vai tratar x 2 , x 3 , x 4 ... como se fossem números quaisquer e derivar normal em relação a x 1 .

Mas e nesse caso que temos uma função com n variáveis? Vamos ter que encontrar n derivadas parciais? Se repararmos bem, independente da variável que escolhermos calcular a derivada parcial (vamos escolher x 1 nesse caso) todas as outras vão seguir o mesmo formato! Então só precisamos encontrar uma solução geral que sirva para qualquer valor de n .

Passo 2

O processo para encontrar uma derivada parcial continua o mesmo, vamos fixar (tornar constante) todas as variáveis exceto a que desejamos encontrar a derivada parcial.

Tenhamos x 1 como exemplo:

Se todas as outras variáveis forem constantes, temos:

u ( x 1 ) = x ² 1 + x ² 2 + x ² 3 + … + x ² n

E sua derivada parcial será:

d   u x 1 d x 1 = d x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + … + x 2 n d x 1

Mas veja que não conseguimos separar x 1 das outras variáveis facilmente, para isso é necessário fazer a regra da cadeia.

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

Assim, temos o seguinte:

d   u x 1 d x 1 = d u d u ⋅ d ( x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + … + x 2 n ) d x 1

d   u x 1 d x 1 = 1 2 u   2 x 1

Ou ainda

u x 1 =   2 x 1 2 x ² 1 + x ² 2 + x ² 3 + … + x ² n

E como comentamos, veja que se tivéssemos escolhido encontrar a derivada parcial em x 2 , a única diferença seria o numerador.

Sendo assim temos a seguinte expressão geral para as derivadas parciais de u para uma variável qualquer x i (onde i pode ser qualquer valor de 1 a n ):

u x i =   2 x i 2 x ² 1 + x ² 2 + x ² 3 + … + x ² n

Resposta

u x i =   2 x i 2 x ² 1 + x ² 2 + x ² 3 + … + x ² n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das seguintes funções:b) g → x , y , z = x - y x + y , 2 x , 3
Dada vec f (x , y , z) = ( e^(x y) , e^(y z) , e^(x z) ) , encontrar(del f)/(del x) + (del f)/(del y) + (del f)/(del z)
Calcular as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das seguintes funções:f) u → x , y , z = e x y i → + ln ⁡ x z j → + 2 k →
Calcular as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das seguintes funções:c) h → x , y , z = 9 - z 2 , 9 - y 2 , 9 - x 2
Calcular as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das seguintes funções:a) f → x , y , z = y i → + x 2 y 2 z 2 j → + e x y z k →