Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

u = x * y * s * n^(-1) {y z}

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Ou seja: Para achar a derivada parcial em x a gente vai tratar y como se fosse um número qualquer e derivar normal em relação a x .

Daí a gente faz isso para x e para y e temos nossa resposta!

Passo 2

Temos a função

u = x y   s e n - 1 y z

Ou ainda

u = x y   a r c s e n y z

E sabemos que a derivada de a r c s e n x = 1 1 - x 2

Dessa forma, começando pela derivada parcial em x , fixamos (tratando como constante) as variáveis y e z :

u x = x y   a r c s e n y z

Onde a derivada parcial é:

d u d x = d ( x y   a r c s e n y z ) d x

Mas observe que tudo além do x é uma constante, de forma que:

d u d x = y   a r c s e n y z d x d x

u x = y   a r c s e n y z

Agora só precisamos repetir o processo para as demais variáveis!

Continuando, vamos calcular a derivada parcial em y , para isso trataremos x e z como constantes:

u y = x y   a r c s e n y z

Onde a derivada parcial é:

d u d y = d ( x y   a r c s e n y z ) d y

Ou ainda

d u d y = x   d   y   a r c s e n y z d y

Resumindo nosso problemão: Não podemos separar facilmente y e z em a r c s e n y z e além disso temos um produto entre duas funções de y ...

E agora o que fazemos?

“Starman começa a tocar de fundo”

A regra da cadeia nos diz o seguinte:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

O famoso: “Derivada de fora vezes a derivada de dentro”

Já a regra do produto fala que:

Se temos uma função

z = f ( x ) g x

A derivada dessa função vai ser dada por:

z ' = f x ' g x + f ( x ) g x '

Sendo assim, podemos aplicar estes conceitos e finalmente encontrar nossa derivada parcial em y

Seja:

f y = y

g y = a r c s e n y z

Temos que:

f ' y = 1

g ' y = d   y z d y ⋅ d   a r c s e n u d u  

g ' y = z 1 - ( y z ) 2  

E por fim:

d u d y = x   d   y   a r c s e n y z d y

d u d y = x f y g ' ( y ) + f ' y g ( y )

u y = x y z 1 - y 2 z 2 + x   a r c s e n ( y z )

E por último, mas não menos importante, a derivada parcial em z

Seguindo exatamente o mesmo processo, temos:

u z = x y   a r c s e n y z

Lembrando: x e y nesse cenário são constantes.

Onde a derivada parcial é:

d u d z = x y   d ( a r c s e n y z ) d z

E como vimos, usando a regra da cadeia temos a seguinte derivada parcial:

u z =     x y 2 1 - y 2 z 2

Resposta

u x = y   a r c s e n y z

u y = x y z 1 - y 2 z 2 + x   a r c s e n ( y z )

u z =     x y 2 1 - y 2 z 2

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