Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 35
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!
Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.
Ou seja: Para achar a derivada parcial em a gente vai tratar como se fosse um número qualquer e derivar normal em relação a .
Daí a gente faz isso para e para e temos nossa resposta!
Passo 2
Temos a função
Ou ainda
E sabemos que a derivada de
Dessa forma, começando pela derivada parcial em , fixamos (tratando como constante) as variáveis e :
Onde a derivada parcial é:
Mas observe que tudo além do é uma constante, de forma que:
Agora só precisamos repetir o processo para as demais variáveis!
Continuando, vamos calcular a derivada parcial em , para isso trataremos e como constantes:
Onde a derivada parcial é:
Ou ainda
Resumindo nosso problemão: Não podemos separar facilmente e em e além disso temos um produto entre duas funções de ...
E agora o que fazemos?
“Starman começa a tocar de fundo”
A regra da cadeia nos diz o seguinte:
Se temos uma função
Onde podemos chamar
A derivada dessa função vai ser dada por:
O famoso: “Derivada de fora vezes a derivada de dentro”
Já a regra do produto fala que:
Se temos uma função
A derivada dessa função vai ser dada por:
Sendo assim, podemos aplicar estes conceitos e finalmente encontrar nossa derivada parcial em
Seja:
Temos que:
E por fim:
E por último, mas não menos importante, a derivada parcial em
Seguindo exatamente o mesmo processo, temos:
Lembrando: e nesse cenário são constantes.
Onde a derivada parcial é:
E como vimos, usando a regra da cadeia temos a seguinte derivada parcial: