Gradiente ortogonal à tangente Suponha que uma função diferenciável f ( x , y ) tenha o valor constante c ao longo de uma curva diferenciável x = g ( t ) , y = h ( t ) ; ou seja, f ( g ( t ) , h ( t ) ) = c para todos os valores de t . Diferencie os dois lados dessa equação com relação a t para mostrar que ∇ f é ortogonal ao vetor tangente da curva em todo ponto sobre a curva.

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 8

Gradiente ortogonal à tangente Suponha que uma função diferenciável tenha o valor constante ao longo de uma curva diferenciável ; ou seja,

para todos os valores de . Diferencie os dois lados dessa equação com relação a para mostrar que é ortogonal ao vetor tangente da curva em todo ponto sobre a curva.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos continuar com os exercícios adicionais avançados? Esta questão trata de gradientes e tangentes. Suponha que uma função diferenciável tenha uma constante ao longo da curva diferenciável , ou seja,

Para todos os valores . A proposta é diferenciar ambos os lados dessa equação com respeito a e mostrar que o gradiente da função é ortogonal ao vetor da curva tangente para todos em pontos da curva.Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Seja Diferenciando a função temos:

Observamos então que:

Onde é o vetor tangente.Portanto, observamos que é ortogonal ao tangente vetor para todos os pontos dessa curva.

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a função f : R 2 → R cujo gráfico passa pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e tal que ∇ f x , y = ( 2 x y 3 - 2 x , 3 x 2 y 2 + 2 y - 1 )

Seja U x , y = x 2 2 + 1 2 y 2 a função energia potencial associada ao campo F → . Determine F →

Determine todas as funções z = phi (x , y) , x0 tal que phi (- 1,1) = (pi)/(4) e para y0 grad phi (x , y) , = ((- y)/(x^2 + y^2) , (x)/(x^2 + y^2))

Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y