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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 48

Os gráficos de uma função f e sua derivada f ' são mostrando. Qual é maior, f ' ( - 1 ) ou f ' ' ( 1 ) ?

Passo 1

E aí, tudo bem?! Aqui temos as curvas:

Uma é a derivada f ' x e a outra é a segunda derivada, f ' ' x . O enunciado pergunta quem é maior, f ' ( - 1 ) ou f ' ' ( 1 ) .

Pra a gente descobrir isso temos que lembrar que a derivada de um ponto é a inclinação da reta tangente desse ponto.

Como não temos a curva de f ' ' ( 1 ) vamos precisar olhar pra f ' 1 e pensar em como seria f ' ' 1 e comparar com f ' - 1 .

Mas qual curva é a função e qual é a sua derivada?!

Isso daí a gente vai precisar deduzir!!! Mas calma, vamos lembrar que se a função é crescente a sua reta tangente é crescente, portanto f ' x > 0 e se ela é decrescente f ' x < 0 .

Além disso em um ponto de máximo ou mínimo da função a reta tangente é horizontal. Portanto f ' x = 0 .

Bora colocar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos trazer o gráfico pra pertinho:

Repara que toda vez que a curva rosa esta em um máximo ou mínimo, a curva rosa toca o eixo x . Ou seja y = 0 ! Maaaas a mesma coisa acontece ao contrário, quando a curva rosa atinge um máximo ou mínimo a curva azul toca o eixo x .

Ou seja, os pontos máximos e mínimos não nos ajudaram em nada nesse caso!

Reparando mais um pouco vemos que sempre que a curva rosa cresce a curva azul é positiva e sempre que ela decresce a curva azul é negativa.

Então a curva rosa é a nossa f x e a azul é f ' ( x ) !

Passo 3

Agora vamos ver quem é maior! f ' ( - 1 ) ou f ' ' ( 1 ) ? Vamos trazer o gráfico pra perto marcando f ' ( - 1 ) e f ' 1 :

O f ' - 1 é positivo, pra saber seu valor precisaríamos estimar uma escala nesse gráfico. Por enquanto tudo que sabemos é que f ' - 1 > 0 . Vamos segurar essa informação e ver se ela é o suficiente.

Já f ' 1 é um ponto de máximo da curva f ' x , isso significa que a sua derivada, ou seja f ' ' 1 = 0 .

Se f ' ' 1 = 0 e f ' - 1 > 0 , então:

f ' 1 > f ' ' 1

Prontinho!

Resposta

f ' - 1

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