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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.12 - Ex. 24

Dadas as funções f x = x 2 + A x e g x = B x . Determinar A e B de tal forma que

f ' x + g ' x = 1 + 2 x f x - g x = x 2

Passo 1

Queremos nessa questão determinar A e B de tal forma que

f ' x + g ' x = 1 + 2 x f x - g x = x 2

Para isso precisamos primeiro encontrar a derivada de f x e g x . Podemos calcular a derivada de forma simples.

Passo 2

A derivada de f x é a seguinte:

f ' x = 2 × x 2 - 1 + 1 × A x 1 - 1

f ' x = 2 x 1 + A x 0

f ' x = 2 x + A

A derivada de g x é a seguinte:

g ' x = + 1 × B x 1 - 1

g ' x = B x 0

g ' x = B

Passo 3

Aqui nós substituímos f x e g x na expressão f x - g x = x 2 e fazemos A em função de B .

f x - g x = x 2

x 2 + A x -   B x = x 2

B x = x 2 - x 2 + A x

B x = A x

B = A

Passo 4

Aqui nós substituímos f ' x e g ' x na expressão f ' x + g ' x = 1 + 2 x , assim temos:

f ' x + g ' x = 1 + 2 x

2 x + A + B = 1 + 2 x

Com o resultado encontrado no passo anterior B = A temos o seguinte:

2 x + A + A = 1 + 2 x

A + A = 1 + 2 x - 2 x

2 A = 1

A = 1 2

Assim temos que A = B = 1 2 .

Resposta

A = B = 1 2

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