Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 88
A sequência de Fibonacci foi definida na Seção pelas equações
Mostre que cada uma das afirmações a seguir é verdadeira.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Fala aí meus amores! Vocês conhecem a sequência de Fibonacci???
Os dois primeiros termos da sequência são 1:
E qualquer outro termo é a soma dos dois anteriores:
Então a gente fica com algo mais ou menos assim:
Como essa sequência começa com termos positivos e todos os termos seguintes são a soma dos dois anteriores, podemos concluir que todos os termos são positivos. Além disso, também tiramos disso que a sequência é crescente.
Agora pra fazer as provas que precisamos, temos que partir de um dos lados de cada equação e fazer as transformações necessárias até chegar no que temos do outro lado. Bora lá?
Passo 2
(a)
Pra mostrar a afirmação, vamos partir do lado direito da equação e tentar chegar no lado esquerdo:
Temos que:
Portanto, pra achar , substituímos por na equação acima:
Agora essa última no lado direito da equação que queremos provar:
Igualando denominadores:
Simplificando :
Agora relembrando que , trocamos o termo entre parênteses no denominador:
E chegamos no lado esquerdo da equação. Provamos!
Passo 3
(b)
Aqui podemos usar o que aprendemos no item anterior:
Substituindo:
E podemos reescrever esse somatório como limite da soma, com até o infinito:
Se você reparar bem o segundo termo de cada parênteses é igual ao primeiro termo do parênteses seguinte. Então cancelamos quase tudo e ficamos apenas com o primeiro e o último termos:
Como vimos no passo 1, todos os termos são positivos e a sequência é crescente então
E o enunciado deu que . Logo:
Ufa! Provamos!
Passo 4
(c)
De novo usaremos o que aprendemos no item (a):
Substituindo:
Simplificando :
Assim, como no item (b), reescrevemos o somatório assim:
E novamente conseguimos cancelar vários termos, mas dessa vez, eles se repetem 2 parênteses depois. Repara que o termo aparece no primeiro e no terceiro parênteses. E os únicos que não conseguimos cancelar são:
Substituindo os valores então:
Chegamos no resultado!
Resposta
Demonstração.